【正文】 對每一固定的 , 任 , 總存在正數(shù) N(注意 : 一般說來 N值與 ?給正數(shù) 和 ?, x)表示三者之間 的值都有關(guān) , 所以有時也用 N( x ?的依賴關(guān)系 ), 使當(dāng) nN? 時 , 總有 | ( ) ( ) | .nf x f x ???使函數(shù)列 {}nf 收斂的全體收斂點集合 , 稱為函數(shù)列 {}nf 的 收斂域 . 例 1 ( ) , 1 , 2 , ,nnf x x n? ? ? ?設(shè) 為定義在( )上的 函數(shù)列 , 證明它的收斂域是 ( 1, 1]? , 且有極限函數(shù) 0, | | 1 ,()1 , 1.xfxx???? ?? 證 0 ( 1 ) , 0 | | 1 ,x??任給 不妨設(shè) 當(dāng) 時 由于? ? ? ?| ( ) ( ) | | | ,nnf x f x x????ln( , ) [ ] , ( , )l n | |N x n N xx???只 要 取 當(dāng) 時 , 就 有| ( ) ( ) | | | | | .nNnf x f x x x ?? ? ? ?0 1 , ,x x n??當(dāng) 和 時 則對任何正整數(shù) 都有| ( 0 ) ( 0 ) | 0nff ? ，? ? ?| ( 1 ) ( 1 ) | 0 .nff ?? ? ?式所表示的函數(shù) . | | 1 | | ( ) ,nx x n當(dāng) 時, 有? ? ? ? ? ?1,x當(dāng)時??又 1 , 1 , 1 , 1 ,??對 應(yīng) 的 數(shù) 列 為 顯然是發(fā)散的 . 所以 {}nx ( 1, 1]?函數(shù)列 在區(qū)間 外都是發(fā)散的 . 故所討論 的 函數(shù)列的收斂域是 ( 1, 1].?這就證明了 在 ( , 1] 上收斂 , 且極限就是 (3) {}nf 1?例 2 sin( , ) ( ) ,n nxfx n? ? ? ? ?定義在 上的函數(shù)列1 , 2 , .n ?s i n 1 ,nxnn?? ? ? 10 , [ ] ,nN? ?故 對 任 給 的 只 要 就 有s i n n ???,x由于對任何實數(shù) 都有所以函數(shù)列 ? ?s in ( , ) ,n x n ? ? ? ?的 收 斂 域 為 極 限( ) 0 .fx ?函 數(shù) 為注 : 對于函數(shù)列 , 僅停留在討論在哪些點上收斂是遠(yuǎn) 遠(yuǎn)不夠的，重要的是要研究極限函數(shù)與函數(shù)列所具 有的解析性質(zhì)的關(guān)系 . 例如 , 能否由函數(shù)列每項的 連續(xù)性、可導(dǎo)性來判斷出極限函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo) 性 。1( , ) 25 。 { } ,.,nx x N xx N NnxxN????? 以 上 兩 例 , 同 樣 都 在 上 收 斂 然 而 卻 有似 乎 很 微 小 但 又 是 非 常 重 要 的 差 別 : 在 給 定后 對 于 每 一 個 都 有 相 應(yīng) 的但 找 不 到 一 個 與 無 關(guān) 的 有 這 樣 的 因此 后 者 比 前 者 多 滿 足 了 一 個 條 件 : 存 在 與 無 關(guān) 的因 此 有 必 要 在 原 來 的 收 斂 概 念 的 基 礎(chǔ) 上 建 立一 個 更 強(qiáng) 的 收 斂 概 念 : 一 致 收 斂 .設(shè)函數(shù)列 {} nff與函數(shù) 定義在同一D定義 1 數(shù)集 上， , N?若對任給的正數(shù) 總存在某一正整數(shù) 使當(dāng) nN? ,xD?對一切 都有時， | ( ) ( ) |nf x f x ??? ，{} nf D f則稱函數(shù)列 在 上一致收斂于 , 記作? ( ) ( ) ( ) , .nf x f x n x D? ? ?由定義看到 , 一致收斂就是對 D 上 任何一點 , 函數(shù)列 趨于極限函數(shù)的速度是 “ 一致 ” 的 . 這種一致性體現(xiàn) ( ).N ?顯然 , 若函數(shù)列 ? ?nf 在 D 上一致收斂 , 則 必在 D 上 每一點 都收斂 . 反之 , 在 D 上每一點都收斂的函數(shù)列 , 它在 D 上不一定一致收斂 . 為 : 與 相對應(yīng)的 N 僅與 有關(guān) , 而與 x 在 D 上的 ? ?取值無關(guān) , 因而把這個對所有 x 都適用的 N 寫作 例 2 中的函數(shù)列 si n nxn?????? 是一致收斂的 , 因為對任意 , x?正 數(shù) 不 論( ,+ )??給定的 取 上什么值 , 都有 ? []N ?1 ? ,nN, 當(dāng) 時 恒 有s i n nxn ?? , 所以函數(shù)列 si n ( ) 0nx fxn?? ? ? ?????在 ( , + ) 上 一 致 收 斂 于 .在 D 上不一致收斂于 f 的正面陳述是 : ? ?nf函 數(shù) 列存在某正數(shù) 0,? 對任 何正數(shù) N, 都有某一點 0xD? 和00xn與 的取值與 N 有關(guān) ), ( 注意 : 0nN?某 一 正 整 數(shù)使得 0 0 0 0( ) ( ) .nf x f x ???? ? ( 0, 1) 在 上 不 可 能 一 致 收 斂 于由例 1 中知道 , 下面來證明這個結(jié)論 . 事實上 , 若取 0 1 , 2 ,2 N? ??對 任 何 正 整 數(shù) 取 正 整10011 ( 0, 1 ) ,Nn N xN??? ? ? ?????數(shù) 及就有 00110 1 .2nxN? ? ? ?({ ( ) },( ) , 1 , 2 , ...( ) ())nnfxf x DNN y f x n N Ny f x y f x???? ? ? ?? ? ? ? 函 數(shù) 列 在 區(qū) 間 上: 對 任 意 給 定 的 正 數(shù) 存 在 正 整 數(shù) 對 于 一切 序 號一 致 收 斂 于 的幾大 于 的 曲 線都 落 在 以 曲 線 與 為 邊 的帶 型何 意 義區(qū) 域 內(nèi) . 只要 n 充分大 )( Nn ? , 在區(qū)間 D 上所有曲線 ()ny f x?將位于曲線 ()y f x ??? 與 ()y f x ??? 之間 . x y o D()y f x ???()y f x ???()y f x?()ny f x???幾何意義 : { } ( 0 , 1 )nx函 數(shù) 列 在 區(qū) 間 上,不一致收斂 從幾何意義上 看 , 就是存在某個預(yù)先給定 的 ? (1), 無論 N 多么大 , 總存在某條曲線 ( ) ,ny x n N??? ?0 , ( 1 )bb ?只限于在區(qū)間 上 , 則 容易 看到 , 只要 1x??yxO2x13 2?圖113x?不能全部落在由 y ? 與?y ??? 夾成的帶狀區(qū)域內(nèi) (圖 132). {}nx若函數(shù)列 ln ( 0 1 ) ,lnn b? ?其中? ? ?nyx?曲線 就全部 落在 y ?? y ?和 ??所夾成的帶狀區(qū)域內(nèi)，所以 ? ?nx 在? ?0,b 上是一致收斂的 . 定理 (函數(shù)列一致收斂的柯西準(zhǔn)則 ) 函數(shù)列 {}nfD ?在數(shù)集 上一致收斂的充要條件是 : 對任給正數(shù) , ,n m N? xD?總存在正數(shù) N, 使當(dāng) 對一切 , 都有 | ( ) ( ) | . ( 4 )nmf x f x ???( ) ( ) ( ) ,nf x f x n x D設(shè) ? ? ?即對證 必要性 ， ?任給 0, 存在正數(shù) N, 使得當(dāng) nN? 時 , 對一切 ?,xD? 都有 | ( ) ( ) | . ( 5 )2nf x f x ???,n m N于是當(dāng) , 由( 5 ) 得?| ( ) ( ) | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) |n m n mf x f x f x f x f x f x? ? ? ? ?.22?? ?? ? ?充分性 若條件 (4) 成立 , 由數(shù)列收斂的柯西準(zhǔn)則 , ( ),fx在 D上任一點都收斂 , 記其極限函數(shù)為 {}nf? ? ? ?. ( 4 ) , , ,x D n m n N現(xiàn) 固 定 式 中 的 讓 于 是 當(dāng) 時?xD對 一 切 都 有| ( ) ( ) | .nf x f x ??? 由定義 1知 , 根據(jù)一致收斂定義可推出下述定理 : 定理 （余項準(zhǔn)則） {} nfD函 數(shù) 列 在 區(qū) 間上一致 收斂于 f 的充分必要條件是 : li m su p | ( ) ( ) | 0. ( 6 )nnxDf x f x?????, 當(dāng) , 存在不依賴于 ? x N任給的正數(shù) 的正整數(shù) ( ) ( ) ( ) , .nf x f x n x D? ? ??證 必要性 ( ) ( ) ( ) , .nf x f x n x D若 ? ? ?則對 ?由上確界的定義 , 對所有 nN? , 也有 su p | ( ) ( ) | .nxDf x f x ????這就得到了 (6)式 . 充分性 由假設(shè) , 對任給 ? 0, 存在正整數(shù) N, 使得 nN?當(dāng) 時, 有su p | ( ) ( ) | . ( 7 )nxDf x f x ????,xD?因為對一切 總有有 | ( ) ( ) | , .nf x f x x D?? ? ?nN 時,?| ( ) ( ) | su p | ( ) ( ) | .nnxDf x f x f x f x?? ? ?.f一 致 收 斂 于注 柯西準(zhǔn)則的特點是不需要知道極限函數(shù)是什么 , 只是根據(jù)函數(shù)列本身的特性來判斷函數(shù)列是否一致 收斂 , 而使用余項準(zhǔn)則需要知道極限函數(shù) , 但使用 較為方便 . 如例 2, 由于 ( , )si n 1l i m su p 0 l i m 0,nnxnxnn? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??sin( , ) , 0 ( ) .nx nn所以在 上故由 (7) 式得 ? ?( ) ( ) ,nnf x f x f D??? 于 是 在 上例 3 定義在 [0,1]上的函數(shù)列 2212 , 0 ,211( ) 2 2 , , 1 , 2, , ( 8 )210, 1 ,nn x xnf x n n x x nnnxn??????? ? ? ? ?????????( 0 ) 0 ,nf由于 ?( 0 )f故 ?? ?l i m ( 0 ) f??0 1 ,x當(dāng)時 ? 1 ,n x只要 就有( ) 0 ,nfx ?( 0 , 1 ]故 在 上 有( ) l i m ( ) x f x????1 , 2 , 3n ?其 中 的圖 像如圖 133 所示 . ( 8 ) [ 0 , 1 ]于是 在 上的極限函數(shù) ( ) 0 .fx ?為 又 由 于[ 0 , 1 ]1su p ( ) ( ) ( ) ,2nnx f x f x f n nn???? ? ? ? ? ? ?????所以函數(shù)列 (8) 在 [0,1] 上不一致收斂 . 13 3?圖 ()fx 11f2f3f121316 14213xyO例 4 討論函數(shù)列 222{ ( ) e }, [ 0, 1 ]nxnf x n x x???的一致 收斂性 . 解 為了使用余項準(zhǔn)則 , 首先求出函數(shù)列的極限函數(shù) . 易見 222( ) li m ( ) li m e 0, [ 0, 1 ] ,nxnnnf x f x n x