[工學]常數項級數的概念與性質-在線瀏覽
2025-03-08 11:19本頁面
【正文】 正項級數常數項級數無窮級數F o u r i e rL a u r e n t第九章 常數項級數 ? 常數項級數的概念與性質 ? 常數項級數的判斂法 ? 反常積分判斂法 一、問題的提出 1. 計算圓的面積 R正六邊形的面積 正十二邊形的面積 1a21 aa ?正 形的面積 n23? naaa ??? ?2112 nA a a a? ? ? ?即1 3 3 3 32.3 10 10 0 10 00 10 n? ? ? ? ? ? 常數項級數的概念 例如： ?? ????????? nnn13121111 ?? ?????????nnn 2121212121321 定義 1 設有無窮實 ( 復 ) 數列 ?? , , , , 21 nuuu ，則 ?? ????????nnn uuuu 211稱為數項級數，簡稱級數。 其中 nun 項第 稱為級數的一般項或通項。 若部分和數列 ? ? 的 nS 極限存在，即 SS nn???lim ，則稱級數 ??? 1nnu 收斂 ，并 為稱 S 級數的 和 ，記為 Sunn ???? 1。 當級數 ??? 1nnu 收斂時，部分和 的近似值可作為和 SSn， 稱 ???????1nkknnuSSr 為級數 ??? 1nnu 的余項， 之間與 SSn 的誤差可由 來衡量 nr ，由于 SSnn???lim ，故 0lim ???nnr ， 這表明 越大 n ， SS n 與 之間的誤差越小。 例 1 ．判別級數 ??? ?1 )1(1n nn的斂散性，若收斂，求其和。 （ 2 ）當 1?q 時，∵ ????????? qqaSnnnn 1)1(limlim ， ∴級數發(fā)散。 解：??????????????? ?1 , 1 ,1)1(12qnaqqqaaqaqaqaSnnn ? ， 綜上可知， ????11nnaq?????????發(fā)散無和收斂 ,1 , ,1 ,1qqqa 。 ② 當 1??q 時， aaaaaS nn 1)1( ???????? ? ， ????. ,0, ,為偶數若為奇數若nnaS n ，故 nnS??lim 不存在，級數發(fā)散。 ∴ 22ln122ln??S ＝2ln22ln?。 例 4 ．證明調和級數 ?? ?????n14131211 發(fā)散。 ∴ nn S??lim 也不存在，故 調和級數發(fā)散 。 性質 1 ( 1) 若級數 ??? 1nnu收斂， S 其和為 ，則對 k 任意常數 ，
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