函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別-閱讀頁
2025-05-31 02:09本頁面
【正文】 散性。根據(jù)定理7知級數(shù)（1）在p1時收斂，p1時發(fā)散。4. 函數(shù)項級數(shù)一致收斂方法的的推廣 比式判別法定理 (比式判別法) 設(shè) ( x) 為定義在數(shù)集D 上正的函數(shù)列,記(x) =存在正整數(shù)N 及實數(shù)q、M ,使得:≤ q 1 , ≤M 對任意的n N , x ∈D 成立,則函數(shù)項級數(shù)在D 上一致收斂。 推論3 (比式判別法的極限形式) 設(shè)為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)項級數(shù), 記, 若, 且在Ｄ上一致有界, 則函數(shù)項級數(shù)在Ｄ上一致收斂。例12 試證函數(shù)項級數(shù)在 ()上一致收斂。 根式判別法定理 (根式判別法) 設(shè)為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)項級數(shù), 若, 則函數(shù)項級數(shù)在Ｄ上一致收斂。例13 試證函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂, 其中()。推論4 (根式判別法的極限形式) 設(shè)為定義在數(shù)集Ｄ上的函數(shù)列, 若一致收斂于, 即, 且, ,對成立, 則函數(shù)項級數(shù)在Ｄ上一致收斂。 推論5 有函數(shù)項級數(shù), 若對, 有, 則函數(shù)項級數(shù)在Ｄ上一致收斂。證明: 因為,所以由推論5知函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂。證明: 由定理條件可知：對使得對, 有,即,則當(dāng)時, 對成立時, 有而級數(shù)當(dāng)收斂, 而優(yōu)級數(shù)判別法可知函數(shù)項級數(shù)在Ｄ上一致收斂. 所以得證。證明: , 因為,所以由對數(shù)判別法知函數(shù)項級數(shù)在上一致收斂。證明: 已知在點收斂, 在上一致收斂, 即使得時對有,對有 ,根據(jù)拉格朗日中值定理有 介于與之間于是, ),故在上一致收斂。解： 對于每一個, 易見為上的增函數(shù), 故連續(xù)且可微, 對于有,故收斂級數(shù)為的優(yōu)級數(shù), 所以由M判別法知在上一致收斂。 連續(xù)性判別法定理 設(shè)函數(shù)項級數(shù) 在區(qū)域Ｄ上點態(tài)收斂于, 如果(1) ()在Ｄ上連續(xù),(2) 在Ｄ上連續(xù),(3) 對Ｄ上每個固定的, 不變號, 則 在Ｄ上一致收斂于。證明: 由于 ,在R上點態(tài)斂于, 在R上連續(xù), 而在R上連續(xù), 對R上每個固定的, 不變號。推論6 設(shè)在上連續(xù), 又在上收斂于連續(xù)函數(shù), 則函數(shù)項級數(shù)在一致收斂。解: 對, 都有,又當(dāng)充分大時單調(diào)遞減, 故連續(xù), 和函數(shù)在上連續(xù), 故由推論知在上一致收斂。證明: 設(shè), , , 因為, 都有,所以, 都有,又級數(shù), 在I一致收斂于, 即, , ,有,及,所以即, , , 有,由函數(shù)項級數(shù)一致收斂定義知, 在I上也一致收斂于。(顯然, 當(dāng), 則為常數(shù)項級數(shù), 則可判斷收斂)。 M判別法的推論推論9 設(shè)有函數(shù)項級數(shù), 存在一收斂的正項級數(shù)使得對, 有(), 則函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間一致收斂。注意 我們知道廣義調(diào)和級數(shù), 當(dāng)時是收斂的, 故當(dāng)時, 則有下列推論：推論10 設(shè)函數(shù)項級數(shù), 若存在, ,則函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間一致收斂。證明: 對于, 存在收斂的正項級數(shù), 且, 由推論10知函數(shù)項級數(shù)在上是一致收斂的。而本論文在給出柯西準(zhǔn)則, M判別法, 阿貝爾判別法, 余項判別法以及積分判別法等判別函數(shù)項級數(shù)一致收斂的同時, 也對函數(shù)項級數(shù)的定義及基本定理的推廣給了更加普遍性的結(jié)論, 此外對數(shù)項級數(shù)的比式判別法, 根式判別法進行推廣得到使其適用于函數(shù)項級數(shù)的一致收斂的判定定理, 對所得定理進行證明, 同時并舉例驗證某些定理方法的有效性。他對我進行了無私的指導(dǎo)和幫助，并幫助進行論文的修改和改進。 由于我的水平有限，所寫論文難免有不足之處，懇請老師批評和指正！ 張慶明 2013年04月于河南師范大學(xué)新聯(lián)學(xué)院
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