廣義積分的收斂判別法-閱讀頁
2025-07-10 14:25本頁面
【正文】 的函數(shù)，在其任意閉區(qū)間上可積,那么: 若0f(x)， p1,那么積分收斂，如f(x)，p1,則積分發(fā)散．其極限形式為 如 (, p1), 則積分收斂．如, 而, 1, 則 發(fā)散. 判斷下列廣義積分的收斂性。(1) (k21)(2) (p,q0)解：（1）1是被積函數(shù)的唯一瑕點因為 =由知瑕積分收斂．（2）0與都是被積函數(shù)的瑕點．先討論 由知: 當(dāng)p1時, 瑕積分收斂。 其他情況發(fā)散． 求證: 若瑕積分收斂，且當(dāng)時函數(shù)f(x)單調(diào)趨向于+，則x f(x)=0.證明：不妨設(shè), f(x)0, 且f(x)在(0, 1)上單調(diào)減少。（2）（Dirichlet判別法）設(shè)F(A)=在[a,]上有界，g(x)在[a,上單調(diào), 且g(x)=0.證明：（1）, 設(shè)|g(x)|M，[a,), 因收斂，由Cauchy收斂原理，, 使時, 有由積分第二中值定理，我們得到 +=再由Cauchy收斂原理知收斂(2) 設(shè)M為F(A)在[a,+上的一個上界，則, 顯然有同時, 因為g(x)=0，所以存在, 當(dāng)xA0時, 有 g(x)|于是，對有 +=由Cauchy收斂原理知收斂 討論廣義積分的斂散性，解：令f(x)=, g(x)=cosx則當(dāng)x時，f(x)單調(diào)下降且趨于零，F(xiàn)(A)= =在[a,上有界．由Dirichlet判別法知收斂，另一方面因發(fā)散，收斂從而非負函數(shù)的廣義積分發(fā)散由比較判別法知發(fā)散，所以條件收斂 討論廣義積分的斂散性．解：由上一題知，廣義積分收斂, 而arctanx在[a, +上單調(diào)有界，所以由Abel判別法知
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