廣義積分的收斂判別法(編輯修改稿)
2025-07-22 14:25 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 q1時(shí), 瑕積分收斂。 其他情況發(fā)散． 求證: 若瑕積分收斂，且當(dāng)時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)趨向于+，則x f(x)=0.證明：不妨設(shè), f(x)0, 且f(x)在(0, 1)上單調(diào)減少。已知收斂，由柯西收斂準(zhǔn)則，有, (1), 有從而0或0x f(x)即x f(x)=0. 求證瑕積分(0), 當(dāng)時(shí)收斂當(dāng)時(shí)發(fā)散.證明:∵==所以當(dāng)31時(shí)，即時(shí)，瑕積分收斂．當(dāng)31，即時(shí)，瑕積分發(fā)散．前面討論的是非負(fù)函數(shù)的反常積分的收斂性，為了能對(duì)一般函數(shù)的反常積分的斂散性進(jìn)行討論，我們先給出下面的重要結(jié)果．（積分第二中值定理）設(shè)g(x)在[a,b]上可積，f(x)在[a,b]上單調(diào)，則存在ξ[a,b] 使=，我們先討論下列特殊情況．(x)在[a, b]上單調(diào)下降并且非負(fù)，函數(shù)g(x)在[a,b]上可積，則存在c[a,b]，使 =f(a)證明：作輔助函數(shù)= f(a) 對(duì)[a,b]的任一分法P: a=x0x1x2…xn=b我們有=由此得到|－|=||△xi這里L(fēng)是|g(x)|在[a,b]的上界, 是在上的振幅，從這個(gè)估計(jì)式可知, 當(dāng)時(shí),應(yīng)當(dāng)有 我們來(lái)證明 為此，引入記號(hào) G(x)= 并作如下變換==== ?。ǎ ?因?yàn)? , 所以 = {} =同樣可證 我們證明了不等式 即現(xiàn)令|p|, 取極限，就得到 因此，存在c[a,b]，使得 =?。ㄒ?yàn)樵冢郏萆鲜沁B續(xù)函數(shù)）也就是= 證畢證明：如f(x)是單調(diào)下降的，則f(x)－f(b)單調(diào)下降且非
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