函數(shù)凹凸性判別法與應用(編輯修改稿)
2025-07-15 21:47 本頁面
【文章內容簡介】 在內，因此是曲線的凹區(qū)間.所以：點是曲線的拐點.小結：求曲線凹凸區(qū)間及拐點的步驟：首先找出可能是拐點的橫坐標（包括使二階導數(shù)為零的點和二階導數(shù)不存在的點），再利用二階導數(shù)的符號判斷該曲線的凹凸區(qū)間及拐點.4 函數(shù)凹凸性的應用函數(shù)凹凸性的應用及其廣泛，很多與函數(shù)、，我們重點討論函數(shù)凹凸性在不等式的證明、求函數(shù)最值以及函數(shù)作圖等中的應用. 函數(shù)凹凸性在證明不等式中的應用 有些不等式的表達形式很簡單，但如果通過常規(guī)的證明方法和技巧卻很難達到預期的效果，這就需要我們另辟蹊徑，尋找更有效的方法技巧，利用凹凸函數(shù)的性質不但可以減少計算量，使解題更加合理，而且借助凹凸函數(shù)的幾何特征可以使解題思路更加清晰直觀. 利用函數(shù)的凹凸性證明一個重要的不等式定理 如果是凸函數(shù)對，滿足，都有.特別地，當時，上述不等式稱為琴生（Jensen）不等式.例題6 ：， 恒有：.當且僅當時等號成立.證明 考慮函數(shù)，很容易判斷出其是凸函數(shù)，有琴生（Jensen）不等式得到：.即：，又在定義域上是單調遞增的.所以有：，當且僅當時等號成立.另一方面，. 即：.又在定義域上是單調遞增的. 所以有：，當且僅當時等號成立.綜上所述有：.當且僅當時等號成立.注意：利用函數(shù)的凹凸性證明不等式時，一定要注意構造或者引進我們所需要的輔助函數(shù)，使條件和結論、已知與未知建立聯(lián)系. 凹凸函數(shù)不等式的積分形式定理 設是上的可積函數(shù)且，是上的連續(xù)凸函數(shù)，則：（如果是凹函數(shù)，則不等式反向）.例題7 設為上的正值連續(xù)函數(shù)，證明：.證明 令，由上述定理得： .即得證.例題8設在上連續(xù)可導，.若，證明：.證明 由，可得，進而得到，. 所以有：.又，所以.另一方面，由Hadamard不等式：設函數(shù)是上連續(xù)的凸函數(shù)，對任意的 ，有：，得.即：，又，所以在為單調增函數(shù)，所以有：， ， 即有：.小結：利用函數(shù)凹凸性證明不等式雖然有一定的局限性，但是它卻能夠避免一些繁雜的解題過程，大大的簡化解題步驟，能夠使問題和已知的條件聯(lián)系起來，只有這樣才能達到預期的效果. 函數(shù)凹凸性在求函數(shù)最值中的應用通過觀察不等式的證明，我們可以發(fā)現(xiàn)，如果不等式的一邊是常數(shù)的話，那么不等式的證明就演變成了求函數(shù)的最值問題，我們就可以利用函數(shù)的凹凸性來求函數(shù)的最值，從而就可以避免繁雜的化簡、轉化、可達到事半功倍的效果.例題9 設，試求 的最小值.解析 如果采用一般的解題方法，我們就會發(fā)現(xiàn)很難找到問題的突破口，但是如果我們采用函數(shù)的凹凸性去思考，再結合著題目的表達形式，就很容易聯(lián)想到琴生（Jensen）不等式，問題就迎刃而解了.解 設，則，.所以為凹函數(shù)，由琴生（Jensen）不等式，得：.化簡整理得：，所以的最小值為.例題10 設函數(shù)為上的凸函數(shù)，則求在閉區(qū)間上的最值.解 對于任意的，取，（），所以有.進而有，又為上的凸函數(shù)所以有：.所以的最小值為.記區(qū)間的中點為，且，設任意的關于的對稱點為 則有，又是上的凸函數(shù)，所以有：，即：）.（其中）.所以的最大值為 ：，（其中.注意：此例題可以表述為若函數(shù)在為凸函數(shù)，則在閉區(qū)間上有界.例題11 若，且，求的最小值.解 設，則，：.
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