zt8專題八關于反常積分斂散性判別(編輯修改稿)
2025-07-04 13:39 本頁面
【文章內容簡介】 ，積分和都收斂，則時，有．證：要證明時有極限，根據(jù)Heine定理，我們只要證明恒有收斂．事實上，已知積分收斂．根據(jù)Cauchy準則，以致，恒有．如此,當時，有，從而．這即表明收斂．故由Heine定理，極限存在． 現(xiàn)在來證．若，則由保號性，當時，有，從而時（當時）．這與收斂矛盾．同理可論也不可能．故.問題4：含參變量的廣義積分是如何定義的？它們一致收斂是什么意思？ 答： 廣義積分有兩種：一種是無窮限積分，即積分區(qū)間為無窮的情形；另一種為瑕積分，即積分區(qū)間雖然是有限的，但被積函數(shù)在積分區(qū)間內無界．當含參變量的積分是廣義積分時，就稱為含參變量的廣義積分，它自然也包括兩種類型． 設定義在，則 為無窮限的含參變量積分，其中是參變量，是積分變量．如果定義在，且對任意以及充分小，對在可積，但在無界，則是含參變量的瑕積分，根據(jù)廣義積分的定義它們都是含參變量正常積分的極限，這與函數(shù)項級數(shù)十分類似，它是部分和的極限.唯一的差別是：在級數(shù)的情形，極限是對離散量取的；而在含參變量廣義積分的情形，極限是對連續(xù)量或取的． 在對函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的分析性質的研究中，一致收斂的概念起了關鍵的作用．通過一致收斂，把無窮和的性質化為有限和的研究．在含參變量廣義積分的討論中，我們也引入一致收斂的概念．它把廣義積分的問題化為含參變量的正常積分，而后者在我們以前學習中已經(jīng)討論無窮限的情形，但所有的結果都可平行地推廣到瑕積分的情形．定義1 設在上有定義，且對任意，無窮限積分收斂．若對任意的，存在，使當時，有對一切都成立，則稱含參變量的廣義積分在上一致收斂．顯然，定義中的區(qū)間可代之以開區(qū)間、半開區(qū)間、無窮區(qū)間等等．問
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