【文章內(nèi)容簡介】 如 ,對于定義在 ]1,0[ 之間的有理數(shù)上的函數(shù) xxf ?)( ,就沒有辦法討論它的可積性 . 5. 在 Riemann 可積函數(shù)集合中 ,能構造出距離 dxxgxfgfd ? ?? )()(),( ,由此可見 ,此空間并不完備 ,這是 Riemann 積分的又一局限性 . 二、 Lebesgue 積分 引入 Lebesgue 積分的目的是為了克服 Riemann 積分的不足 ,從而擴大可積函數(shù)類 .Lebesgue 積分是 Lebesgue 在測度理論的基礎上建立起來的 ,Lebesgue 測度理論可以統(tǒng)一處理函數(shù)有界與無界的情形 ,而且函數(shù)可以定義在更為一般的點集上 ,而不僅僅只是閉區(qū)間],[ ba 上 .Lebesgue積分還提供了比 Riemann積分更加廣泛且有效的收斂定理 .因此 Lebesgue積分的應用范圍比較廣泛 .二十世紀初 ,Lebesgue 對給定的函數(shù)按函數(shù)值的區(qū)域進行分割 ,作和 ,求極限產(chǎn)生了 Lebesgue 積分 .對值域進行分割 ,相應得到對定義域的分割 ,使得在每一塊上的振幅都很小 ,即按函數(shù)值的大小對定義域的點進行歸類 .具體定義如下： （一）非負簡單函數(shù)的積分 設 f 是可測集 D 上的非負簡單函數(shù) ,則有 D 的劃分 ? ?SiEi ??1, 及非負實數(shù)組? ?Siai ??1, ,使 ???si Eii xXaxf 1 )()(, Dx? .此時我們定義 f 在 D 上的 Lebesgue 積分為? ???D Si ii Emadxxf 1 )()( ,并且當 ? ??D dxxf )( 時 ,稱 f 在 D 上 Lebesgue 可積 .[2] （二）非負可測函數(shù)的積分 設 )(xf 是可測集 D 上的非負可測函數(shù) ,? ?)(xfn 是的非負簡單函數(shù)的上升列 ,并且)()(lim xfxfnn ??? .此時 f 在 D 上的 Lebesgue積分定義為 ?? ???D nD n dxffdx lim.若積分值有限 ,則稱 )(xf 在 D 上 Lebesgue 可積 .[2] 4 （三）一般可測函數(shù)的 Lebesgue 積分 對每一個 Dx? ,令 ? ??? ? ,)(,0m ax xfdx ? ??? ?? ,)(,0m a x xfdx則 ?f 與 ?f 分別稱為函數(shù) f 的正部與負部 .若 ??D dxf與 ??D dxf的 Lebesgue 積分不同時為 ? ,則 f 在 D 上的Lebesgue 積分定義為 ?????? DDD dxfdxffdx.此外當 ?Dfdx有限時 ,稱 f 在 D 上 Lebesgue 可積 .[2] 三、二者區(qū)別與聯(lián)系 （一） Riemann 積分與 Lebesgue 積分的定義的比較 1. 極限式定義的比較 （ 1） Riemann 積分的 極限式定義 設 )(xf 是定義在閉區(qū)間 ],[ ba 上的有界函數(shù) ,對區(qū)間 ],[ ba 的任意一個分割 T , bxxxxa n ????? ?210 ,記 1???? iii xxx , ? ?nxxxx ????? ?,m a x 321? , 任取 nixx iii ,3,2,1],[ 1 ??? ?? ,作和 ?? ?ni ii xf1 )(?,并求極限 ??? ?ni ii xf10 )(lim ??,若該極限存在則稱在 ],[ ba 上 Riemann 可積 . 并把該極限稱為 )(xf 在 ],[ ba 的積分 ,記作?ba dxxf )( .[3] （ 2） Lebesgue 積分的 極限式定義 設 )(xf 是定義在可測集 nRE? 上的有界可測函數(shù) ,且 ??mE ,存在 nR???, 使得),()( ???Ef . 若對 ],[?? 的 任 一 分 割 D , ?? ????? nllll ?210 . 記1???? iii lll , ni ,3,2,1 ?? , ? ?nllll ????? ?,m a x 321? , ])([ 1 iii lxflxEE ??? ? ,對任意 ][ ,1 iii ll??? ,作和 ??ni iimE1?,并求極限 ???ni iimE10lim ??,若該極限存在則稱 )(xf 在 D 上Lebesgue 可積 .并把該極限稱為 )(xf 在 E 的積分 ,記作 ?E dxxf )(.[3] （ 3）對兩者的比較 從上面兩個定義我們可以看出 ,兩個積分的相同點是思路相似 ,具體地說 ,都是要作分割 ,求和 ,取極限 .兩者的區(qū)別在于 ,分割的對象不同 ,即 Riemann 積分是對定義域 作分割 ,而 5 Lebesgue 積分是對值域進行分割 . 2. 確界式定義的比較 （ 1） Riemann 積分的 確界 式定義 設 )(xf 是定義在閉區(qū)間 ],[ba 上的有界函數(shù) , 對區(qū)間 ],[ba 的任意一個分割T , bxxxxa n ????? ?210 ,記 iM 為函數(shù) )(xf 在 ],[ 1 ii xx? 上的上確界 , im 為函數(shù) )(xf在 ],[ 1 ii xx? 上的下確界 ,相對于分割作和 ?? ??ni ii xMfTS 1),(稱為 )(xf 關于分割 T 的大和數(shù) , ?? ??ni ii xmfTs 1),(稱為 )(xf 關于分割 T 的小和數(shù) .記 ),(in f)( fTSdxxfTba ??為 )(xf在閉區(qū)間 ],[ ba 上的上積分 ,同時記 ),(s up)( fTsdxxfTba ??為 )(xf 在閉區(qū)間 ],[ ba 上的下積分 .若兩個積分的值相等 ,則稱 )(xf 在 ],[ ba 上可積 ,并稱這個共同值為 )(xf 在 ],[ ba 上Riemann 可積 ,記作 ?ba dxxf )(.[3] （ 2） Lebesgue 積分的 確界式定義 設 E 是 一個非空可測集 ?ni iEE 1??,其中 iE 為互不相交的可測集 , ? ?iED? 是 E 任意一個可測分割 ,記 iM 為函數(shù) )(xf 在 iE 上的上確界 , im 為函數(shù) )(xf 在 iE 上的下確界 ,相對于分割作和 ???ni iimEMfDS 1),(稱為 )(xf 關于分割 T 的大和數(shù) , ???ni iimEmfDs 1),(稱為)(xf 關于分割 T 的小和數(shù) .記 ),(in f)( fDSdxxfE D? ? 為 )(xf 在閉區(qū)間 E 上的上積分 ,記),(s u p)( fDsdxxfE D? ? 為 )(xf 在閉區(qū)間 E 上的 下積分 .若兩個積分的值相等 ,則稱 )(xf在 E 上 可積 ,并稱這個共同值為 )(xf 在 E 上 Lebesgue 可積 ,記作 ?E dxxf )(.[3] （ 3）對兩者的比較 Riemann 積分的 確界 式定義與 Lebesgue 積分的 確界式定義有相同的思路：第一 ,先對積分區(qū)間進行分割 ,從而定義區(qū)間的大和與小和；第二 ,定義大和的下確界為上積分 ,小和的上確界為下積分；第三 ,若上下積分值相等 ,則被積函數(shù)再此積分區(qū)域上是可積的 . 雖然兩者形式相似 ,但具體定義還是有一定的區(qū)別：第一 ,從積分區(qū)域來看 , Lebesgue 積分的適用范圍較廣 .因為 Riemann積分的積分區(qū)域是閉集 ,而 Lebesgue積分的積分區(qū)域是可測集 ,可測集的范圍大于閉集 .第二 ,從分割方法來看 , Riemann 積分將定義域分割為自變量很接 6 近的若干個小區(qū)間 ,而 Lebesgue 積分 將定義域分割為函數(shù)值很接近的若干個小集合 .第三 ,從測度的選取來看 , Riemann 積分采取的是約當測度 ,而 Lebesgue 積分采取的是 Lebesgue 測度 .第四 ,從被積函數(shù)來看 ,在 Riemann 積分理論中被積函數(shù)是有界的 ,而在 Lebesgue 積分理論中被積函數(shù)是可測的 .第五 ,Lebesgue 積分中 , )(xf 有界 , ??mE 這一條件可以忽略 ,而在Riemann 積分則不可以 . (二） Riemann 積分 與 Lebesgue 微積分在積分基本定理中的比較 1. Riemann 積分中微積分基本定理 Riemann 積分要求 )(xf 在閉區(qū)間 ],[ ba 上是可微的 ,并且 )(39。 xf 在此區(qū)間上是可積的 ,才有 .這一結論使得積分和微分之間有了聯(lián)系 ,但是 )(39。 xf 在 ],[ ba 上可積是一個很大的限制條件 .在 1881 年意大利數(shù)學家 Volterra 就 作出了可微函數(shù) , 其導數(shù)是有界的 ,但是導數(shù)不是可積的 .所以說 ,Riemann 積分下 微積分基本定理這一結論的適應面過窄 . 2. Lebesgue 積分中微積分基本定理 Lebesgue 積分 要求 )(xf 在閉區(qū)間 ],[ ba 是絕對連續(xù)的 ,則有 ? ??xa afxfdttf )()()(39。 .[4] 3. 對兩者的比較 有上述表達可以比較得出 ,在 Lebesgue積分下的微積分基本理論放松了 Riemann積分理論中微分后在積分可還原的條件 ,而且還延續(xù)了 Riemann 積分理論中積分后再微分可以還原的特點 .所以說 ,在積分 與微分的關系問題上 ,Lebesgue 積分顯得更加優(yōu)越 . （三） Riemann 積分與 Lebesgue 在一些主要性質(zhì)上的比較 積分的主要性質(zhì) [5] 性質(zhì) 1 線性性質(zhì)：若函數(shù) )(),( xgxf 在 ],[ ba 上可積 ,則 )()( 21 xgkxfk ? 在 ],[ ba 上可積（ 21,kk 為實數(shù)） ,且 dxxfkxfkdxxgkxfk baba ba ?? ? ??? )()()()( 2121. 性質(zhì) 2 積分區(qū)間的可加性： )(xf 在 ],[ ba 上可積的充要條件是 ,任給 ],[ bac? , )(xf在 ],[ ca 與 ],[ bc 上都可積 .此時又有等式 dxxfxfdxxf bcba ca ?? ? ?? )()()(. 證 [充分性 ] )(xf 在 ],[ ca 與 ],[ bc 上都可積 ,故任給 0?? ,分別存在分割 39。T 與 T ,使得 ? ??39。 239。39。T ii x?? ,? ?? 2T ii x?? .現(xiàn)令 39。 TTT ?? ,它是對 ],[ ba 的一個分割 ,且有 ?? ? ????? 39。39。 39。39。 T iiT T iiii xxx ??? . 7 由此證得 , )(xf 在 ],[ ba 上可積 . [必要性 ] 已知 )(xf 在 ],[ ba 上可積 ,故任給 0?? ,存在對 ],[ ba 的某分割 T ,使得? ??T ii x ?? ,在 T 上在增加一個分點 c ,得到一個新的分割