【文章內(nèi)容簡介】 一個(gè)通用的數(shù)學(xué)表達(dá)式子來表示： ()其中在上述式子中ɑ滿足：。關(guān)于RiemannLiouville的分?jǐn)?shù)階微分積分的定義，其在數(shù)學(xué)層面的要求要比G L定義的分?jǐn)?shù)階微分積分的定義的要求高得多，它不僅僅要求函數(shù)是連續(xù)的，而且要求函數(shù)必須是可積的，雖然在實(shí)際的工程實(shí)踐運(yùn)用的過程中，的確可以保證函數(shù)的連續(xù)性以及可積性，但是，RiemannLiouville的定義在工程實(shí)際中的運(yùn)用還面臨著很多的無法解決的問題，例如，理論上的實(shí)現(xiàn)問題，以及在實(shí)際過程中還缺乏在物理意義上的初試值得問題，這些問題的存在限制了RiemannLiouville定義在工程實(shí)際中的運(yùn)用。 Caputo定義Caputo分?jǐn)?shù)階積分定義的形式和RiemannLiouville定義的積分定義形式相差不大，但是微分就有一些差別，二者的微分運(yùn)算順序是相反的。Caputo分?jǐn)?shù)階的微分形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： ()在上述式子中，ɑ=λ+m ,m是整數(shù)，且，Caputo分?jǐn)?shù)階的積分形式的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： ()對于式子()和 式子()，在這里可以將二者統(tǒng)一為以下的式子： () 在式子中。通過以上的式子就可以知道，上述定義要求函數(shù)的m階次導(dǎo)數(shù)可積。 通過以上描述的具體的定義可以看出，Caputo分?jǐn)?shù)階微積分定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式形式和RiemannLiouville分?jǐn)?shù)階微積分定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式有一定的相似性，這二者的最主要區(qū)別是在于對常數(shù)的求導(dǎo)的定義之上，Caputo定義要求對常數(shù)的求導(dǎo)為有界的，但是RiemannLiouville定義要求對常數(shù)的求導(dǎo)為無界的，所以在這里可以得出前者的定義更適合用于分?jǐn)?shù)階微積分求解初值的問題。 分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì) 根據(jù)以上分?jǐn)?shù)階定義式的數(shù)學(xué)表達(dá)式，在這里可以得到分?jǐn)?shù)階微積分的如下性質(zhì)：(1) 整數(shù)階微分只和這一點(diǎn)的函數(shù)值有關(guān)，而分?jǐn)?shù)階微，分不僅僅與這一點(diǎn)的函數(shù)值有關(guān)，還和函數(shù)的初始狀態(tài)及之前時(shí)刻的所有狀態(tài)都有關(guān)。(2)分?jǐn)?shù)階微積分具有線性性質(zhì)，由式子表示即為： () (3)分?jǐn)?shù)階微積分滿足疊加性質(zhì)，由式子表示即為： () (4)對于分?jǐn)?shù)階，如果ɑ=n，n是整數(shù)，那么分?jǐn)?shù)階微分就和整數(shù)階的n階次微分的結(jié)果是一樣的。特殊情況下，如果ɑ=0的時(shí)候， 。(5)函數(shù)f(t)的分?jǐn)?shù)階微積分形式對于λ和t來說都是可以解析的。 拉普拉斯變換拉普拉斯變換是在工程數(shù)學(xué)中是非常常用常見的一種積分變換形式，是由拉普拉斯在18世紀(jì)初提出的，我們一般簡稱為拉氏變換。拉氏變換可以看成一個(gè)線性變換，可以把一個(gè)有著引數(shù)實(shí)數(shù)t(t0)的函數(shù)形式來轉(zhuǎn)換成為一個(gè)引數(shù)為復(fù)數(shù)s的函數(shù)形式。拉普拉斯變換可以在許許多多的工程科學(xué)技術(shù)方面以及科學(xué)技術(shù)研究領(lǐng)域的方面都有著非常廣泛的應(yīng)用和體現(xiàn)。在力學(xué)系統(tǒng)研究，電力學(xué)系統(tǒng)，自動(dòng)控制系統(tǒng)研究，可靠性相關(guān)系統(tǒng)等這些學(xué)科中得以尤其起著非常重要的作用。同時(shí)，在本文中，在對分?jǐn)?shù)階微積分方程的求解方面，會特別用到拉普拉斯變換方面的知識。拉普拉斯變換的定義式為：函數(shù)f(t)滿足：t0時(shí)，f(t)=0。 t0時(shí)f(t) 是連續(xù)的并且滿足時(shí)，函數(shù)f(t)的拉普拉斯變換存在，且數(shù)學(xué)表達(dá)式為： () 函數(shù)分?jǐn)?shù)階積分?jǐn)?shù)學(xué)表達(dá)式的拉式變換是： () 函數(shù)分?jǐn)?shù)階微分?jǐn)?shù)學(xué)表達(dá)式的拉式變換是： () 特殊情況下，如果函數(shù)f(t)和其各階導(dǎo)數(shù)初試的值全是0，那么： () 通過這些變換，以及拉普拉斯變換的一些定義及其性質(zhì)，本文在后續(xù)的研究中可以運(yùn)用拉普拉斯變換來對一些式子進(jìn)行變換，已達(dá)到比較好的運(yùn)算效果，來求解和分析系統(tǒng)。由以上章節(jié)的具體的討論，對于分?jǐn)?shù)階微積分有了大概的了解，在這里可以根據(jù)分?jǐn)?shù)階微積分的定義作出一些簡單函數(shù)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)圖像，同時(shí)也可以通過這些特殊函數(shù)的圖像來間接驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階理論的正確性。本小節(jié)在這里就將通過對特殊的三角函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)來間接驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階理論。對于特定的三角函數(shù)sin(t)，在這里可以通過之前的定義來表示函數(shù)sin(t)的ɑ階微分如下： ()其中上述式子中是h表示圖像的步長。而由之前的一些定義可知系數(shù)的計(jì)算式子為： ()所以在這里可以得到三角函數(shù)sin(t)的ɑ階微分的計(jì)算MATLAB程序，見附錄程序1，其中的p即為ɑ。在程序中，我們令p=1，即為求三角函數(shù)sin(t)的一階微分，即為函數(shù)cos(t)。 sin(t)函數(shù)的1階微分圖像當(dāng)p從變化時(shí)圖像也在變化，當(dāng)p=，圖像為：圖 sin(t)由上圖可知，圖像的幅值降低，，：圖 sin(t)函數(shù)的各階微分圖像對比當(dāng)p取負(fù)值時(shí)，求出的圖像即為函數(shù)sin(t)的分?jǐn)?shù)積分曲線， ，函數(shù)sin(t)的分?jǐn)?shù)積分曲線為：圖 sin(t)函數(shù)的各階積分圖像對比 分?jǐn)?shù)階微積分理論研究的就是求解函數(shù)的微分和積分，在求解函數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分運(yùn)算的時(shí)候，通常會用到一些基本的數(shù)學(xué)函數(shù)，MittagLeffler函數(shù)和Bata函數(shù)及其Gamma函數(shù)，同時(shí)還會用到拉普拉斯變換和這種數(shù)學(xué)中常用的運(yùn)算工具。隨著數(shù)學(xué)家們對分?jǐn)?shù)階微積分的研究，分?jǐn)?shù)階微積分有著多種的定義，本章介紹了G L定義與RL定義及其Caputo定義這三種定義形式，，通過仿真圖像就可以對分?jǐn)?shù)階微分和積分運(yùn)算有比較直觀的了解。在本章的討論中，還可以看到分?jǐn)?shù)級微積分理論是要用到MittagLeffler函數(shù)和Bata函數(shù)及其Gamma函數(shù)這三種高等數(shù)學(xué)的基本函數(shù)的，這三種函數(shù)是常用到的基本函數(shù)的推廣，同時(shí)也可以看出這三種基本函數(shù)的復(fù)雜程度要比常用的數(shù)學(xué)基本函數(shù)復(fù)雜得多，這也就間接地看出分?jǐn)?shù)階微積分理論比整數(shù)階微積分理論復(fù)雜的多。3 分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的求解本章主要內(nèi)容是分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的求解，現(xiàn)在在工程實(shí)際中，有很多系統(tǒng)都是分?jǐn)?shù)階而不是屬于整數(shù)階的，這些系統(tǒng)在近年來的研究中出現(xiàn)在很多種不同的模型，比如實(shí)域傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)描述，頻域傳遞函數(shù)的數(shù)學(xué)描述，狀態(tài)空間的數(shù)學(xué)描述，矩陣多項(xiàng)式的數(shù)學(xué)描述等分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的描述模型。盡管描述模型的多種多樣，但是通常在實(shí)際的工程實(shí)際及實(shí)際操作中，人們總是運(yùn)用分?jǐn)?shù)階微分方程來表示描述系統(tǒng)，通過分?jǐn)?shù)階微分方程表示的分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)，可以讓人們比較清晰的分析分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的運(yùn)行及實(shí)際操作情況。 分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)的求解實(shí)際上就是對分?jǐn)?shù)階微分方程的求解，通過對分?jǐn)?shù)階微分方程的求解，可以來分析整個(gè)系統(tǒng)。在本章中將著重來介紹分?jǐn)?shù)階微分方程的求解問題，本章關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程求解將介紹兩種方法，即為分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法和解析解法，通過這兩種解法，就可以比較方便的求解分?jǐn)?shù)階微分方程，另外，在這兩小結(jié)中，還將介紹具體的例子，以便可以更好地理解這兩種解法。 分?jǐn)?shù)階微分方程分?jǐn)?shù)階微分方程是為微分方程在分?jǐn)?shù)階范圍內(nèi)的推廣，分?jǐn)?shù)階微分方程即為用分?jǐn)?shù)階來表示的微分方程，近年來隨著分?jǐn)?shù)階微積分在工程實(shí)際及研究領(lǐng)域的重要作用，分?jǐn)?shù)階微分方程的研究也成為人們研究的熱點(diǎn)問題。分?jǐn)?shù)階微分方程有多種的表達(dá)形式，其中在工程實(shí)際運(yùn)用過程中常見的就是線性定常系統(tǒng)，其數(shù)學(xué)通用表達(dá)式如下： ()在上式子中，參數(shù)變量λ和β為任意的正實(shí)數(shù)，當(dāng)在這里來假設(shè)λ和β滿足式子以及式子，這樣的假設(shè)同樣滿足分?jǐn)?shù)階微分方程成立的條件，系數(shù)a和b都是任意的常數(shù)，u(t)為此系統(tǒng)的出入函數(shù)，y(t)是此系統(tǒng)的輸出函數(shù)。對式子()兩邊同時(shí)求拉普拉斯變換，其中這里假設(shè)函數(shù)的初始條件都為零，那么在這里可以得到此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下所示： ()因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)階微分方程具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，在實(shí)際的控制系統(tǒng)中，可以看到很多的系統(tǒng)都選擇使用分?jǐn)?shù)階微分方程這一工具來建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。在建立這樣的數(shù)學(xué)模型之后，隨之而來的就是分?jǐn)?shù)階微分方程的求解問題。下面就將介紹分?jǐn)?shù)階微分方程的兩種求解方法，解析解法和數(shù)值解法[4]。關(guān)于分?jǐn)?shù)階微分方程的解有常見并且很重要的定理，即為解的存在性和唯一性定理，下面就簡單地介紹一下這一定理。關(guān)于這一定理在這里可以作以下的描述：對于一個(gè)設(shè)定的函數(shù)f(t)，這里假設(shè)其在()的范圍內(nèi)是可積的，然后函數(shù)f(t)是滿足式子： ()那么方程 ()在這個(gè)區(qū)間里面有且只有一個(gè)解。關(guān)于這一定理這里給出以下的證明：唯一性： 如果y1(t)和y2(t)都是式子()的解，那么z(t)=y1(t)y2(t)也應(yīng)該是方程的解，z(t)的拉普拉斯變換是Z(s)=0，也就是z(t)=0在()的范圍內(nèi)都是成立的。存在性：對式子()兩邊同時(shí)求拉普拉斯變換得以下式子： ()將式子()代入式子()中可以得到以下式子得到： ()對上述式子進(jìn)行拉普拉斯逆變換得： ()由前面章節(jié)的介紹，由分?jǐn)?shù)階的RiemannLiouville定義可以得到： ()其中在上式中k為自然數(shù)。在這里將式子()代入式子()和()之中就可以證明式子()就是原方程的解。這即為分?jǐn)?shù)階微分方程的一些基本理論知識，下面就著重介紹一下分?jǐn)?shù)階微分方程的求解方法。分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法長時(shí)間來一直作為分?jǐn)?shù)階微分方程的標(biāo)準(zhǔn)求解方法，然而，即使數(shù)值解法可以解決分?jǐn)?shù)階微分方程的大多數(shù)的問題，但是在解決分?jǐn)?shù)階微分方程的方法中卻不是最好的。在本小節(jié)中我們將著重介紹分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法。對于分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)，不管是連續(xù)的還是離散的，這些分?jǐn)?shù)階控制系統(tǒng)建模用的分?jǐn)?shù)階微積分方程一般情況下都是用數(shù)值解法來求解的，現(xiàn)在在求解分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法中，已經(jīng)出現(xiàn)很多種的近似數(shù)值算法，包括曲線的擬合，連續(xù)的分?jǐn)?shù)擴(kuò)展等方法。下面這里就介紹分?jǐn)?shù)階微分方程的數(shù)值解法：在這里假設(shè)一個(gè)比較簡單的微分方程如下所示： ()其中函數(shù)f(t)為此分?jǐn)?shù)階微分方程的輸入函數(shù)，而函數(shù)y(t)為此分?jǐn)?shù)階微分方程的輸出函數(shù)。ɑ表示此分?jǐn)?shù)階微分方程的階次，ɑ滿足，當(dāng)，此分?jǐn)?shù)階微分方程稱為震蕩方程。并且函數(shù)y(t)滿足式子如下：，其中k=0，1，2…n1。通過之前章節(jié)對分?jǐn)?shù)階微積分定義的學(xué)習(xí)及理解，對于式子()，在這里可以變換為如下的形式 ()在上述式子中m為正整數(shù)，函數(shù)y(t)的初始值為零，即為滿足y(0)=0，h為此分?jǐn)?shù)階微分方程的步長，m和t及h的關(guān)系為：，而。上述式子的系數(shù)根據(jù)之前章節(jié)的學(xué)習(xí)滿足式子：，其中參數(shù)j=0，1，2，3，…。而滿足式子 ()運(yùn)用近似算法和化簡，根據(jù)式子()我們可以得到 ()此式子為函數(shù)y(t)的遞推式子，根據(jù)這個(gè)式子在這里可以得到函數(shù) y(t)的遞推關(guān)系，由這個(gè)遞推關(guān)系就可以在M