【正文】 致謝在本文即將完成之時，在這里我向我的導師教授及所有幫助過我人表示感謝，曾教授關心支持我的寫作，在我的論文寫作期間給予我極大的幫助，每當遇到不懂之處都會盡心解疑，直至最終的完稿，在這里表示由衷的感謝。也可以通過這些變化對分數(shù)階控制系統(tǒng)的靈活性有著比較清晰的認識[10]。而對于分數(shù)階的被控對象，分數(shù)階的控制器有著更好的控制作用，并在最后觀察了參數(shù)變化時對于被控對象圖像變化的影響。 本章小結在本章之中主要討論了分數(shù)階控制系統(tǒng)的仿真實例，著重介紹了整數(shù)階控制系統(tǒng)及其分數(shù)階控制系統(tǒng)的定義，及這兩種控制系統(tǒng)在控制系統(tǒng)中的作用，并分別舉例分析了這兩種控制系統(tǒng)的控制效果，對于分數(shù)階控制系統(tǒng)，著重介紹了分數(shù)階控制器對被控對象的影響，通過這些例子。(2) 當增加ki時，取ki為15，運行程序，得到如下圖像： ki增加時被控對象在階躍輸入下輸出由上圖所示，當Ki增加時，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差降低，但是ki過大時，可導致系統(tǒng)超調量增加，調節(jié)時間加長，振蕩次數(shù)增加，造成系統(tǒng)不穩(wěn)定，所以ki應取適當值。改變參數(shù)，令Kp=2，ki=5，Kd=4，λ=，μ=，編寫程序，程序見附錄程序8，運行程序可以得到控制系統(tǒng)的輸出圖像如下所示：如圖所示：在此分數(shù)階控制器的控制下，被控對象的控制性能得到了很好的改善，超調量得到了降低，調節(jié)時間明顯縮短，在此可以看出分數(shù)階控制器的對分數(shù)階被控對象有很好的控制作用。現(xiàn)在這里先添加分數(shù)階控制器，來觀察分數(shù)階控制器的控制效果，及參數(shù)變化所帶來的影響。分子為分母為所以這里得到的分數(shù)階微分方程的解為 ()在實際的工程運用中，分數(shù)階控制系統(tǒng)有著非常重要的地位和作用，下面這里就來看一下分數(shù)階控制系統(tǒng)的具體例子。控制系統(tǒng)的分數(shù)階微分方程，由第三章的學習，在這里有兩種求解此分數(shù)階微分方程的方法，即解析解法和數(shù)值解法。如下圖是含有控制器的控制系統(tǒng)的框圖：Gc(s)G(s)圖 其中G(s)為被控對象，Gc(s)為主回路控制環(huán)節(jié)，W(s)為此控制系統(tǒng)的輸入，Y(s)為輸出。對于第二種作用，可以用如下的描述，和整數(shù)階控制系統(tǒng)一樣，我們也可以用分數(shù)階微分方程來描述分數(shù)階控制系統(tǒng)，表示如下： ()其中λ和β為任意的實數(shù)，而λ和β滿足式子以及式子， 。分數(shù)階控制系統(tǒng)即為運用分數(shù)階微分方程理論等分數(shù)階微積分方面的知識建立起來的系統(tǒng)類型，與整數(shù)階在控制系統(tǒng)的作用相似，分數(shù)階在控制系統(tǒng)中也由兩種作用形式：其一即為運用分數(shù)階微積分的控制器直接對受控的系統(tǒng)對象進行控制；其二為對受控的對象在分數(shù)階微積分理論方面建立數(shù)學模型。分數(shù)階控制系統(tǒng)是控制系統(tǒng)分類中的一個非常重要的組成部分，隨著在實際工程中分數(shù)階起著越來越重要的作用，對分數(shù)階控制系統(tǒng)的研究也成為當今的一大熱點，分數(shù)階微積分控制系統(tǒng)也就是含有分數(shù)階微積分環(huán)節(jié)的控制系統(tǒng)，分數(shù)階微積分控制系統(tǒng)可以更加準確地描述控制系統(tǒng)，源于其分數(shù)階系統(tǒng)自身的特點，即分數(shù)階微積分的記憶特性，這點是整數(shù)階微積分所不具有的，所以分數(shù)階控制系統(tǒng)在工程實際中的作用愈發(fā)的重要。運行附錄程序6，可以得到如下圖像： 例2在階躍輸入整數(shù)控制器下的輸出 改變參數(shù)取a2=，a1=，a0=1，β=2，ɑ=1，Kp=，Kd=，μ=。Gc(s)G(s) 控制系統(tǒng)基本控制框圖在這里如果設定和第三章例2相似的被控對象，即: ()如果控制系統(tǒng)的控制環(huán)節(jié)為PD控制系統(tǒng)，即Gc(s)為，這里可以得出和例2相同的微分方程如下： ()在第三章中的時候對分數(shù)階微分方程進行了解析解法和數(shù)值解法兩種方法的求解，并分析了兩種方法的適用條件，上式為較復雜的分數(shù)階微分方程，那么這里可以采用分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法。例2.除了上面這種直接對被控對象進行建模分析，還有就是用控制器對被控對象進行控制的，下面這里就簡單來看一個這種類型的控制系統(tǒng)。在這里如果取a2=，a1=，a0=1，β=2，ɑ=1。下面這里就這兩種控制形式分別舉例分析。除了微積分方程這種描述控制系統(tǒng)的方法之外，這里還可以用傳遞函數(shù)的描述的方法表示如下，其中U(s)為系統(tǒng)的輸入，Y(S)為系統(tǒng)的輸出。下面這里就一起來了解一下整數(shù)階控制系統(tǒng)。整數(shù)階控制系統(tǒng)，顧名思義就是由整數(shù)階微積分方程所組成的控制系統(tǒng)，即組成控制系統(tǒng)的微積分方程都為整數(shù)階的，用整數(shù)階的微積分方程就可以更好的描述控制系統(tǒng)的系統(tǒng)特性，而不包含分數(shù)階的部分。整數(shù)階控制系統(tǒng)是控制系統(tǒng)中常見的控制類型，在分數(shù)階控制系統(tǒng)大范圍應用之前，整數(shù)階控制系統(tǒng)在控制系統(tǒng)中占據(jù)著非常重要的位置。4分數(shù)階控制系統(tǒng)的仿真控制系統(tǒng)指的是可以合乎理論地利用信息對物質和能量進行有效的分析和利用的過程和系統(tǒng)，在工程實際的控制系統(tǒng)中，可以對控制系統(tǒng)進行不同的分類，例如根據(jù)原理的不同，可以將控制系統(tǒng)分為開環(huán)及其閉環(huán)控制系統(tǒng)，不同的分類方法可以對控制系統(tǒng)進行不同的分類。但是在這一例子中遇到的問題要比例3中的問題更加的嚴重，由于本例子中的所推導出來的遞推關系式子更加復雜，所以本例子中的程序在MATLAB中的運行時間更加的漫長，同樣，其中的累加關系也只能累加至有限多個，而不是正無窮，考慮以上種種原因，在求解分數(shù)階微分方程的過程中，如果分數(shù)階微分方程比較簡單，那么就可以采用解析解法，可以比較方便的得出結果；但是如果所求的分數(shù)階微分方程過于復雜和繁瑣，那么再用解析解法就顯得太過于復雜，而且有可能得不到正確的結果，那么就可以運用數(shù)值解法來進行分數(shù)階微分方程的求解，就會收獲比較好的效果。 在這里選取和例2同樣的系統(tǒng)，由例2所得到的結果，可以得到系統(tǒng)的分數(shù)階微分方程如下： ()Y(t)滿足其各階導數(shù)都為零，由上節(jié)分數(shù)階微分方程的解析解法所得到的定義形式，這里可以得到Y(t)的遞推式子如下：()根據(jù)第二章所提到的基本的數(shù)學函數(shù)，在這里可以推導出上述式子的遞推數(shù)學式子，根據(jù)得到的遞推關系式子，在MATLAB中編制程序，程序見附錄程序5，在這里我們取和例2相同的數(shù)據(jù)，即為：a2=，a1=，a0=1，β=，ɑ=，Kp=，Kd=，t=5，h=。但是，需要注意的是，用數(shù)值解法得到的結論所編制的程序相比，用解析解法所得到的結論編制的程序運行速度較慢，而且程序中的級數(shù)循環(huán)只能為有限個相加，而不能累加至正無窮，這就造成了解析解法在求解分數(shù)階微分方程時有一定的局限性。這里依然設定U(s)為此控制系統(tǒng)的輸入，Y(s)為此控制系統(tǒng)的輸出，同理在這里可以得到此控制系統(tǒng)的分數(shù)階微分方程的式子如下所示： ()其中y(t)依然滿足其各階導數(shù)都為零，那么根據(jù)上一節(jié)中的解析解法的定義，可以得到 ()根據(jù)這個遞推的式子，可以利用MATLAB編制程序，程序見附錄4，在這里依然取a2=，a1=，a0=1，β=，ɑ=。在下面的這些情況下，假定U(s)為系統(tǒng)的輸入，Y(S)為系統(tǒng)的輸出。在上式子中會用到在第二章提到的一些等式關系， ()式子 ()的拉普拉斯變換表示如下： ()而對于其中的可以用到第二章的MittagLeffler函數(shù)的數(shù)學定義式子表示如下所示： ()這樣根據(jù)不同的情況式子()會有不同的變形。在這里如果設定分數(shù)階控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的一般形式如下所示： ()其中，(k=0,1，…，n)為任意的實數(shù)，并且滿足如下關系：，其中的，(k=0，1，…，n)也為任意的常數(shù)。運行程序可以得到分數(shù)階微分方程在這些參數(shù)下的圖像如下: 例2 在階躍輸入下的圖像分數(shù)階微分方程的解析解法是求解分數(shù)階微分方程的又一常用的方法，解析解法的大體思路就是根據(jù)之前介紹的拉普拉斯變換的方法，對分數(shù)階微分方程的兩邊同時進行拉普拉斯變換，就可以得到分數(shù)階微分方程中原函數(shù)的表達式子，根據(jù)得到的表達式，可以運用MATLAB作出圖像，根據(jù)圖像來分析函數(shù)的變化。上述式子的系數(shù)根據(jù)之前章節(jié)的學習滿足式子：，其中參數(shù)j=0，1，2，3，…。運行程序可以得到分數(shù)階微分方程的解在這些參數(shù)下的圖像如下所示： 例1在階躍輸入下的圖像例2. 在下圖中是一個控制系統(tǒng)中非常常見的基本控制框圖，是一個簡單的反饋回環(huán)，其中G(s)為回路主環(huán)節(jié)，而Gc(s)則為回路校正環(huán)節(jié)，W(s)為此控制系統(tǒng)框圖的輸入，Y(s)為此控制系統(tǒng)框圖的輸出。上述式子的系數(shù)根據(jù)之前章節(jié)的學習滿足式子：，其中參數(shù)j=0，1，2，3，…。例1. 下面舉一個簡單的控制系統(tǒng)，根據(jù)這一系統(tǒng)所推導出的分數(shù)階微積分的方程式子來進行分數(shù)階微積分方程的計算，通過這一例子的分析及求解，在這里可以熟練地掌握分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法的解題思路和具體的解題步驟，而通過MATLAB的仿真編程，可以得到此分數(shù)階的圖像，這有助于對分數(shù)階控制系統(tǒng)的分析與研究。根據(jù)遞推圖像我們可以很清晰的看出分數(shù)階微分方程的漸變過程圖像。上述式子的系數(shù)根據(jù)之前章節(jié)的學習滿足式子：，其中參數(shù)j=0，1，2，3，…。并且函數(shù)y(t)滿足式子如下：，其中k=0，1，2…n1。下面這里就介紹分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法：在這里假設一個比較簡單的微分方程如下所示： ()其中函數(shù)f(t)為此分數(shù)階微分方程的輸入函數(shù)，而函數(shù)y(t)為此分數(shù)階微分方程的輸出函數(shù)。在本小節(jié)中我們將著重介紹分數(shù)階微分方程的數(shù)值解法。這即為分數(shù)階微分方程的一些基本理論知識，下面就著重介紹一下分數(shù)階微分方程的求解方法。存在性：對式子()兩邊同時求拉普拉斯變換得以下式子： ()將式子()代入式子()中可以得到以下式子得到： ()對上述式子進行拉普拉斯逆變換得： ()由前面章節(jié)的介紹，由分數(shù)階的RiemannLiouville定義可以得到： ()其中在上式中k為自然數(shù)。關于這一定理在這里可以作以下的描述：對于一個設定的函數(shù)f(t)，這里假設其在()的范圍內是可積的，然后函數(shù)f(t)是滿足式子： ()那么方程 ()在這個區(qū)間里面有且只有一個解。下面就將介紹分數(shù)階微分方程的兩種求解方法，解析解法和數(shù)值解法[4]。對式子()兩邊同時求拉普拉斯變換，其中這里假設函數(shù)的初始條件都為零，那么在這里可以得到此系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下所示： ()因為分數(shù)階微分方程具有重要的現(xiàn)實意義，在實際的控制系統(tǒng)中，可以看到很多的系統(tǒng)都選擇使用分數(shù)階微分方程這一工具來建立系統(tǒng)的數(shù)學模型。 分數(shù)階微分方程分數(shù)階微分方程是為微分方程在分數(shù)階范圍內的推廣，分數(shù)階微分方程即為用分數(shù)階來表示的微分方程，近年來隨著分數(shù)階微積分在工程實際及研究領域的重要作用，分數(shù)階微分方程的研究也成為人們研究的熱點問題。 分數(shù)階控制系統(tǒng)的求解實際上就是對分數(shù)階微分方程的求解，通過對分數(shù)階微分方程的求解，可以來分析整個系統(tǒng)。3 分數(shù)階控制系統(tǒng)的求解