微積分中的二階及高階導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算(參考版)
2025-05-18 21:46本頁(yè)面
【正文】 l i m)()(l i mxgxfxgxfaxax ???例 求 解：當(dāng) x→ 0+時(shí)原式是 型的不定式 ， 用羅必塔法則有 例 證明當(dāng) a＞ 0時(shí) ， ＝ 0 證明：根據(jù)羅必塔法則 這表明 ， 無(wú)論是 α 一個(gè)多么小的正數(shù) ， xα 趨于＋ ∞ 的速度都比 lnx趨于＋ ∞ 的速度快 。 ??)()(limxgxfax?)(39。(x)均存在 ， g39。l i m)()()()(l i m)()(l i m0 xgxfgfagxgafxfxgxfaxaxax ????????? ???例 求極限 解：當(dāng) x→ 0時(shí)原式是 型的不定式 ， 用羅必塔法則有 例 求極限 解：當(dāng) x→ 1時(shí)原式是 型的不定式 ， 用羅必塔法則有 20c os1limxxx??0000212s i nl i mc os1l i m020????? xxxxxx123l i m2331 ?????? xxxxxx23266l i m12333l i m123l i m12212331????? ????? ????? xxxxxxxxxxxxx 例 求極限 解：當(dāng) x→∞ 時(shí)原式是 型的不定式 ， 用羅必塔法則有 xa r c tgxx 12lim?????0011l i m111l i m12l i m2222????????????????? xxxxxa r c t g xxxx?2. 不定式 [定理 ] 如果當(dāng) x→a 時(shí)函數(shù) f(x)、 g(x)都趨向于無(wú)窮大 ， 在點(diǎn) a的某一鄰域內(nèi) (點(diǎn) a除外 )， f39。l i m)(39。)()()()(??gfagxgafxf ???0)(lim ?? xfax 0)(lim ?? xgax0)()( ?? agaf)(39。 )(39。l i m)()(l i mxgxfxgxfaxax ???00證明： 根據(jù)柯西定理有 ∵ ξ 在 x與 a之間 ， ∴ 當(dāng) x→a 時(shí) ξ →a ∵ ， ∴ 這說(shuō)明求可導(dǎo)函數(shù)與商的極限時(shí)可以轉(zhuǎn)化為求它 們導(dǎo)數(shù)的商的極限 。(x)＝ 2! f(4)(0)＝ 3!， … f(n)(0)＝ (－ 1
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