重積分的概念及其計(jì)算法(參考版)
2025-05-03 12:24本頁(yè)面
【正文】 。與平面拋物柱面 πzx,z,yxy 2 0 0 :Ω ????? zx 2 ??? 2? 2?y2=x x y z o zyxzyxfI ddd),( ?????例 3 將 化為三次積分 所圍成的區(qū)域。三重積分的概念及其計(jì)算法 第四節(jié) 復(fù)習(xí) 二重積分的概念 設(shè)函數(shù) f (x,y) 在平面有界閉區(qū)域 D上 有界 ， 將 D 任意 分成 n 個(gè)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的小區(qū)域 ，i??每個(gè)小區(qū)域的面積記作 i?? ，),2,1( ni ??在每個(gè)小區(qū)域上 任意 取一點(diǎn) ，iiii yxP ???),(作和式 ，???niiii yxf1),( ? ? ? ，的直徑令 0m ax1 ??? ?? ini ??如果上述和式的 極限存在 ， 點(diǎn) Pi 的取法 無(wú)關(guān) ， 并且與區(qū)域 D 的分法及 則稱(chēng)此極限值為函數(shù) f (x,y) 在 區(qū)域 D 上的 二重積分 ， 記作 .),( ?dyxfD??此時(shí)也稱(chēng)函數(shù) f(x, y) 在區(qū)域 D 上是 可積的 ． 即 .),(lim),(10???????niiiiDyxfdyxf ???一、三重積分的概念 1. 定義 設(shè)函數(shù) f (x,y,z)在空間有界閉區(qū)域 Ω上 有界 ， 將 Ω 任意 分成 n個(gè)無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)的小區(qū)域 每個(gè)小區(qū)域的體積記作 iv? ，),2,1( ni ??在每個(gè)小區(qū)域上 任意 取一點(diǎn) ，iiiii vzyxP ??),(，???niiiii vzyxf1),( ? ? ，的直徑令 0m ax1 ??? ?? ini v?如果上述和式的 極限存在 ， 并且與區(qū)域 Ω的分法及 則稱(chēng)此極限值為函數(shù) f (x,y,z) 在 記作 .),( dvzyxf????此時(shí)也稱(chēng)函數(shù) f(x,y,z) 在區(qū)域 Ω上是 可積的 ． ，iv?作和式 點(diǎn) Pi 的取法 無(wú)關(guān) ， 區(qū)域 Ω上的 三重積分 ， ????dvzyxf ),(由定義 iiinii vzyxf ?? ???),(lim10?其中： f (x,y,z) 稱(chēng)為 被積函數(shù) ， Ω 稱(chēng)為 積分區(qū)域 ， f (x,y,z)dv 稱(chēng)為 被積表達(dá)式 ， dv 稱(chēng)為 體積元素 ， 稱(chēng)為iiinii vzyxf ???),(1積分和 ． 2. 函數(shù)可積的條件 可以證明：如果 f (x,y,z) 閉區(qū)域 Ω上連續(xù)， 則 f (x,y,z) 在 Ω上可積． 特別地：如果 f (x,y,z) ≡1， 則有 .????? Vdv )( 的體積為其中 ?V三重積分有與二重積分 完全類(lèi)似 的性質(zhì)． 如果用平行于坐標(biāo)面在空間直角坐標(biāo)系中，二、三重積分的直角坐標(biāo)計(jì)算法 .lkji zyxv ?????則 故在空間直角坐標(biāo)系下 體積元素 為： ．dx dy dzdv ?從而在直角坐標(biāo)系下三重積分可表示為 .),(),( dzd x d yzyxfdvzyxf ????????? 與二重積分 類(lèi)似 ， 三重積分可化為 三次積分 ，的平面來(lái)劃分 ?進(jìn)行計(jì)算． xyzo?D1z2z),(1 yxzz ?),(2 yxzz ?ab)(1 xyy?)(2 xyy?),( yx面上的投影區(qū)域?yàn)樵谠O(shè) x o y?，： ),(11 yxzzS ?軸的直線，作平行于過(guò)點(diǎn) zyx ),(，則穿入點(diǎn)的豎坐標(biāo)為 ),(1 yxz.),( dvzyxf????計(jì)算如圖其中積分區(qū)域 ?，： bxaD ??，)()( 21 xyyxy ??設(shè)區(qū)域 Ω 的下、上邊界曲面 方程為 ，： ),(22 yxzzS ?，上任取一點(diǎn)在 ),( yxD，軸正向穿過(guò)區(qū)域沿 ?z，穿出點(diǎn)的豎坐標(biāo)為 ),(2 yxz的函數(shù)，看作看作定值，將先將 zzyxfyx ),(,求積分 ? ),(),(21),(yxz yxz dzzyxf?),( yxFxyzo?D1z2z),(1 yxzz ?),(2 yxzz ?ab)(1 xyy?)(2 xyy?),( yx.),( dvzyxf????計(jì)算，： bxaD ?? ，)()( 21 xyyxy ???? ),( ),(21 ),(),( yxz yxz dzzyxfyxF的上求然后在區(qū)域 ),( yxFD二重積分，?????dvzyxf ),(即dydxyxFD??? ),( ? ??? ??Dyxzyxz dydxdzzyxf),(),(21),(??? ),( ),(21),(yxz yxzDdzzyxfdydx.),(),( ),()( )( 2121 ?? ?? yxz yxzba xy xy dzzyxfdydx三次積分 注意積分區(qū)域 Ω 的特點(diǎn) .和各部分區(qū)域上的積分之分等于域滿足相應(yīng)條件，原積若干個(gè)區(qū)域，使每個(gè)區(qū)分成的交點(diǎn)多于兩點(diǎn)，可將的邊界曲面區(qū)域內(nèi)部的直線與軸，且穿過(guò)區(qū)域如果平行于???Sz先關(guān)于面投影到可將有時(shí)，為了方便起見(jiàn)也 (y o z?.)() 求積分先關(guān)于面或求積分 yz o xx例如 ????),(),(21),(zyxzyxDdxzyxfdzdyyzdvzyxf????),(.),(),(),(21???? xzyxzyDdyzyxfdxdzzx例 1 計(jì)算三重積分 ????z d x d y d z , 其中
物理相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1