經(jīng)濟數(shù)學(xué)微積分二重積分的計算法(參考版)
2024-09-03 12:45本頁面
【正文】 1(4 22 Re ????當(dāng) ??R 時 ,41 ??I ,42 ??I故當(dāng) ??R 時 ,4??I 即2 20( d )xex? ? ??4? , 所求廣義積分 20 dxex? ? ??2? . ,21 III ???2 2 2220( 1 ) ( d ) ( 1 ) 。R xex?? ? ?1I 221ddxyDe x y???? 2200ddR re r r? ? ?? ?? )。一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分 二、小結(jié) 思考題 第二節(jié) 二重積分的計算法（ 1） 如果積分區(qū)域為： ,bxa ?? ).()( 21 xyx ?? ??其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù) . )(1 x? )(2 x? ],[ ba一、利用直角坐標(biāo)系 (right angle coordinate system)計算二重積分 ［ X－型］ )(2 xy ??a bD)(1 xy ??Dba)(2 xy ??)(1 xy ??( , ) d( , )Df x y D zf x y? ??? 的 值 等 于 以 為 底 ， 以 曲 面為 曲 頂 柱 體 的 體 積 ．應(yīng)用計算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法 , zyx)( 0xA),( yxfz ?)(1 xy ??)(2 xy ??21()()( , ) d d ( , ) d .bxaxDf x y x f x y y??? ??? ? ?得 a b0x21()()( , ) d d ( , ) d .dycyDf x y y f x y x??? ??? ? ?如果積分區(qū)域為： ,dyc ?? ).()( 21 yxy ?? ??［ Y－型］ )(2 yx ??)(1 yx ?? Dcdcd)(2 yx ??)(1 yx ?? D X型區(qū)域的特點 ： 穿過區(qū)域且平行于 y 軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點 . Y型區(qū)域的特點 ： 穿過區(qū)域且平行于 x 軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個交點 . 若區(qū)域如圖， 3D2D1D在分割后的三個區(qū)域上分別使用積分公式 .321???????? ???DDDD則必須分割 . 例 1 求 d,DI x y ?? ?? 其中 D 是 1?x 、xy ? 及 2?y 所圍成的閉區(qū)域 . 解法一 [X型 ] 解法二 [Y型 ] 22 2 2211d d [ ] d2 xxyI x x y y x x? ? ?? ? ?34222119( 2 ) d [ ]2 8 8xxx x x? ? ? ? ??22211 1 1d d [ ] d2y yxI y x y x y y? ? ?? ? ?3 4 222119( ) d [ ]2 2 8 4 8y y y yy? ? ? ? ??X=Y Y=2 X=1 Y X 2 1 1 2 例 2 求 2( ) d dDx y x y??? ，其中 D 是由拋物線 2xy ? 和 2yx ? 所圍平面閉區(qū)域 . 解 兩曲線的交點 ),1,1(,)0,0(22??????yxxy2( ) d dDx y x y??? 21 20 d ( ) dxxx x y y????1 2 2 401[ ( ) ( ) ] d2x x x x x x? ? ? ?? .14033?2xy?2yx?例 3 求2dyDIe ??? ?? ，其中 D 是由直線 xy ? , 1?y 及 y 軸所圍成的閉區(qū)域 . 解 2 dyey?? 不能用初等函數(shù)計算 ? 只能用 Y 型 . 2100 ddy yI y e x?? ?? 210 dyy e y?? ? )1(21 1??? e例 4 求22ddyDx e x y??? ，其中 D 是以 ),1,1(),0,0( )1,0( 為頂點的三角形 . 2 dyey?? 無法用初等函數(shù)表示 解 ? 積分時必須考慮次序22 ddyDx e x y??? 21 200ddy yy x e x?? ??2310d3y yey???? 22120d6y yey???? ).21(61 e??例 5 計算積分 121142ddyyxI y e x? ??121ddyyxyy e x? ?? . 解 dyxex? 不能用初等函數(shù)表示 ? 先改變積分次序 .原式2121ddyxxxI x e y?? ?? 121 ( ) dxx e e x??? .2183 ee ??2xy?xy?xy ?? 1例 6 改變積分 1100d ( , ) dxx f x y y??? 的次序 . 原式 11
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