微積分x13-2二重積分的計算方法(參考版)
2025-01-15 12:17本頁面
【正文】 0。切平面方程，并求最小所圍體積最小，寫出拋物面及圓柱面與該的一個切平面，使得它例：求拋物面1)1(12222??????yxyxz0122 202022 ?????? yxzyyxx切平面解?? ????????Ddxdyyxyyxxyxv )1221( 20202222?? ????? D dxdyyxxxyx )2( 2020222?)()2( 2020222 yxdxdyxxyxD????? ????? ??? r d rrxrd )co s2( 0co s20 222?? ??? ?)(2020 yx ?)223 20200 yxx ???? （?例 6 求曲線 )(2)( 222222 yxayx ??? 和 222 ayx ?? 所圍圖形最右邊一塊的面積 .解 在極坐標系下)(2)( 222222 yxayx ???,2c os2 ?ar ??,222 arayx ???? 1D由?????arar ?2c o s2, 得交點 )6,(?? aA , 所求面積 ???Dd x d y????12Dd x d y ?? ?? ?? 2c os2062 aa rd rd).33(22 ??? a∵ D=2D1 例 7 解 ）．所圍的面積（取圓外部和圓是由心臟線其中計算ararDdyxD??????)c o s1(.22????????????????)c o s1(2222aaDr d rrddyx???? ?????2233 ]1)c o s1[(31 da).2922(3 ??? a 三、二重積分的換元法 ???????.si n,co sryrx間的關(guān)系為坐標與極坐標之平面上同一個點，直角的一種變換，坐標平面到直角標平面上式可看成是從直角坐x o yro ?換是一對一的．，且這種變平面上的一點成，通過上式變換，變面上的一點平即對于),(),(yxMx o yrMro???.),()],(),([),(:)3(。1(4)()1(4 222 220 RR xR edxee ??? ??????? ?例 4 計算 d x d yyxD)(22?? ? ，其 D 為由圓yyx 222?? ， yyx 422?? 及直線 yx 3? 0? ，03 ?? xy 所圍成的平面閉區(qū)域 .解 32 ?? ??61?? ???s i n4?? r?s i n2?? rd x d yyxD)( 22?? ? ? ??? ?? ??? 36s i n4s i n22 r d rrd ).32(15 ???yyx 422 ??yyx 222 ??03 ?? yx03 ?? xy例 5 求由球面 x2+y2+z2=4a2與柱面 x2+y2=2ax所圍立體的體積。1(4 2Re ????同理 ?2I ?? ??222Dyx d x d ye)。的原函數(shù)不能用初等函注意： xx eexx x1,ln 1,sin 21111()xxd x f u d u?? ? ?? ??例 4 設 )( xf 為 連續(xù) 的偶函數(shù) ， 證明 . 左式 1111()d x f y x d y?????? . 20( ) 4 ( ) ( 1 ) : | | 1 , | | 12Duf y x d f u d u D x y?? ? ? ? ??? ?令 yx=u 交換積分次序 u 1 o 1 x 2101() uf u d u d x??? ??0121()uf u d u d x? ? ?? ??2002( ) ( 2 ) ( ) ( 2 )f u u d u f u u d u?? ? ? ???令 u=t 2( , ) ( , ) ( , ) ,0 , , 1 ( , ) .Df x y f x y x y f u v dud v Dy y x x f x y??? ? ???例5： 設 連續(xù)，且 其中 是由 所圍區(qū)域，求?? ?D cd u d vvuf ),(解：設 cxyyxf ??),(則???? ?? ??? DD D d x d ycx y d x d yd x d yyxf ),(???? ?? DD dxdycx y d x d yc即? ?? 10 20x y d yx d x ? ?? 10 20x dydxccc ??? 3121 81?? c16例 計算二重積分：1||xyx y d ?????1110044x y x y x yxxyyx y d x y d x y d? ? ?? ? ? ? ? ??????? ?? ??解：? ? ?? 10 104 x ydyxdx.612 )1(4 102??? ? dxxx O
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