微積分x13-2二重積分的計算方法(存儲版)
【正文】 ( ) ( )2xf x d xd x f x f y d y ? ???例：證明：110 ( ) ( )xf x d x f y d y? ??證明：左1( ) ( )xF x f y d y? ?設(shè) ( ) ( )F x f x? ??10 ( ) ( )F x F x d x??? ?210()[]2Fx??11( 1 ) ( ) 0F f y d y???10( 0 ) ( )F f y d y? ?1 20[ ( ) ]2f x d x? ?例 6 .)()(11)()( 12? ?? ???? ??banxanba dyyfybndyyfyxdx證明 證 ?????????bynbaxanbadxyfyxdydyyfyxdx)()()()(22? ???? ba bynyxndyyf ])(11[)( 1.)()(11 1? ???? ban dyyfybnDxy?bbaaZ=f2(x,y) Z=f1(x,y) Z=0 d xd yyxfyxfVD)],(),([ 12 ?? ??利用二重積分計算空間立體體積 例 1. . 6 4 2Vyxz限上的體積所圍成的立體在第一掛及三個坐標(biāo)面，平面求由拋物柱面 ???oxyz42 6解 所求立體可以看成是一個 曲頂柱體，它的曲頂為 ,4 2xz ?????????.60,20:yxD底為 ?dxVD )4( 2?? ?? dyxdx ?? ?? 60 220 )4(? ?? ?? 20 602 )4( dxyx ? ?? 20 2 )4(6 dxx.32?例 2. 求兩個底圓半徑為 R 的直角圓柱面所圍的體積 . xyzRRo解 : 設(shè)兩個直圓柱方程為 ,222 Ryx ??利用對稱性 , 考慮第一卦限部分 , 其曲頂柱體的頂為 則所求體積為 ? ?220 dxR yxxRR d)(8 0 22? ?? 3316 R?222 Rzx ??22 xRz ??????????? 00:),( 22RxxRyDyxxxRR d8 0 22? ??AoDi??irr?ii rrr ???ii ??? ???i???iiiiii rrr ????????????2221)(21 iiii rrr ??????? )2(21iiiii rrr ????????????2)(21二、利用極坐標(biāo)系計算二重積分 ???????????????????????????DiiiiiniiiiiiniiDr d r drrfrrrrfyxfd x d yyxf)s i n,c o s()s i n,c o s(lim),(lim),(1010)211(iiiii rrrr ?????????.)s i n,c o s()( )(21??? ?? ???? ??? r d rrrfd??ADo)(1 ???r )(2 ???r??Drdrdrrf ??? )si n,c o s(二重積分化為二次積分的公式（１） 區(qū)域特征如圖 ,??? ??).()( 21 ???? ?? r.)s i n,c o s()( )(21??? ?? ???? ??? r d rrrfd??ADo)(1 ???r )(2 ???r??Drdrdrrf ??? )si n,c o s(* *( , ) ( , ) 0 ( , )D D D DDF x y d f x y d d f x y d? ? ? ??? ? ??? ?? ?? ??( , ) ( , )( , )0 ( , )f x y x y DF x yx y D??? ???AoD)(???r.)s i n,c o s()(0??? ???? ??? r d rrrfd二重積分化為二次積分的公式（２） 區(qū)域特征如圖 ,??? ??).(0 ???? r??Drdrdrrf ??? )si n,c o s(????Drdrdrrf ??? )si n,c o s(.)s i n,c o s()(020 ??? ??? ??? r d rrrfd極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積 .???Dr d r d ??二重積分化為二次積分的公式（３） 區(qū)域特征如圖 ).(0 ???? rDo A)(???r,2????0例 1 寫出積分 ??Ddxdyyxf ),( 的極坐標(biāo)二次積分形式，其中積分區(qū)域,11|),{(2xyxyxD ????? }10 ?? x .1??yx122 ?? yx解 在極坐標(biāo)系下???????si nc o sryrx所以圓方程為 1?r ,直線方程為 ?? c o ss
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