第二節(jié)二重積分的計(jì)算(參考版)
2025-07-23 20:21本頁(yè)面
【正文】 第二節(jié) 二重積分的計(jì)算 一、二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算 二、二重積分在極坐標(biāo)系下的計(jì)算 一、二重積分在直角坐標(biāo)系下的計(jì)算 二重積分的計(jì)算主要是化為兩次定積分計(jì)算，簡(jiǎn)稱(chēng)為化為二次積分或累次積分 .下面從二重積分的幾何意義來(lái)引出這種計(jì)算方法 . 在直角坐標(biāo)系中，如果用平行于兩個(gè)坐標(biāo)軸的兩組直線(xiàn)段，將區(qū)域 D分割成 n個(gè) 小塊 從而 有 , 21 n??? ??? ?.dd),(d),( ???? ?DDyxyxfyxf ?由定積分的幾何應(yīng)用：設(shè)一立體滿(mǎn)足 ， bxa ??在區(qū)間 [a,b]上任取一點(diǎn) x，過(guò)該點(diǎn)作垂直于 x軸的平面 與所給立體相截，若截面面積為 S(x)，則所給立體體 積 .d)(?? ba xxSV 設(shè)區(qū)域 D的邊界曲線(xiàn)與平行于 y軸的直線(xiàn)至多有兩個(gè)交點(diǎn) .區(qū)域 D可以用不等式表示為 . )()( 21 bxaxyyxy ???? (1) 在 [a,b]上取定一點(diǎn) x，過(guò)該點(diǎn)作垂直于 x軸的平面截曲頂柱體，截面為一曲邊梯形 .將這曲邊梯形投影到 Oyz坐標(biāo)面，它是區(qū)間 [y1 (x),y2 (x)]上，以 z=f(x,y)為曲邊的曲邊梯形 (將 x認(rèn)定為不變 )，因此這個(gè)截面的面積可以由對(duì)變?cè)?y的定積分來(lái)表示 . .d),()( )( )(21?? xy xy yyxfxS.]dd),([d)(dd),( )( )(21? ?????? ba xy xybaDxyyxfxxSyxyxf故曲頂柱體的體積，也就是二重積分為 (2) 將二重積分化成了先對(duì) y積分，后對(duì) x積分的二次積分 . 為了簡(jiǎn)便常記為 .d),(ddd),( )( )(21????? xy xybaDyyxfxyxyxf 需要指出，計(jì)算 時(shí)，應(yīng)將 x視為常 量，按定積分的計(jì)算方法解之 . ? )( )(21 d),(xy xy yyxf. )()( 21 dycyxxyx ???? 同樣，設(shè)區(qū)域 D的邊界曲線(xiàn)與平行于 x軸的直線(xiàn)至多有兩個(gè)交點(diǎn) .區(qū)域 D可以用不等式表示為 (3) ，?? )( )(21 d),()( yx yx xyxfyS 在 [c,d]上取定一點(diǎn) y，過(guò)該點(diǎn)作垂直于 y軸的平面截曲頂柱體，所得截面也為一曲邊梯形 .若截面面積為S(y)，則 .d)(?? dc yySV所給立體體積 ? ?.d),(d dd),( d)(dd),()()()()(2121??? ???????yxyxdcdcyxyxdcDxyxfyyxyxfyySyxyxf因此 (4) 即化成先對(duì)變?cè)?x積分，后對(duì)變?cè)?y積分的二次積分 . 先對(duì) x積分時(shí)， 中的 y應(yīng)視為常量，按定積分的計(jì)算方法解之 . ? )( )(21 d),(yx yx xyxf 在上述討論中，我們假定 f(x,y)≥0，但是實(shí)際上，上述結(jié)論并不受此限制 . 如果積分區(qū)域 D的邊界曲線(xiàn)與平行于坐標(biāo)軸的直線(xiàn)相交，其交點(diǎn)多于兩個(gè)，則先將區(qū)域 D劃分為幾個(gè)子區(qū)域，其中每個(gè)子區(qū) 域的邊界曲線(xiàn)與平行于 坐標(biāo)軸的直線(xiàn)相交時(shí)， 交點(diǎn)不多于兩個(gè)，用前 述方法及重積分的可加 性可求區(qū)域 D上的二重 積分 . 為了便于確定積分區(qū)域 D的不等式表達(dá)式，通?？梢圆捎孟率霾襟E： (1) 畫(huà)出積分區(qū)域 D的圖形 . (2) 若先對(duì) y積分，且平行于 y軸的直線(xiàn)與區(qū)域 D的邊界線(xiàn)的交點(diǎn)不多于兩點(diǎn)，那么確定關(guān)于 y積分限的方法是： 作平行于 y軸的直線(xiàn)與區(qū)域 D相交，所作出的直線(xiàn)與區(qū)域 D先相交的邊界曲線(xiàn) y=y1(x)，稱(chēng)之為入口曲線(xiàn)，作為積分下限 .該直線(xiàn)離開(kāi)區(qū)域 D的邊界線(xiàn) y=y2(x),稱(chēng)之為出口曲線(xiàn)，作為積分上限 . 而后對(duì) x積分時(shí)，其積分區(qū)間為區(qū)域 D在 Ox軸上投影區(qū)間 [a,b]， a是下限， b是上限，即 .d),(ddd),( )( )(21????? xy xybaDyyxfxyxyxf 如果所作出的平行于 y軸的直線(xiàn)與區(qū)域 D相交時(shí)，在不同的范圍內(nèi)，入口曲線(xiàn)或出口曲線(xiàn)不同，則應(yīng)該將積分區(qū)域 D分為幾個(gè)部分，在每個(gè)部分區(qū)域上，所作出的直線(xiàn)與區(qū)域 D的入口曲線(xiàn)與出口曲線(xiàn)唯一確定 . 例 1 用二重積分計(jì)算由平面 2x+3y+z=6和三個(gè)坐標(biāo)平面所圍成的四面體的體積 . 解 即求以 z=6–2x–3y為頂，以△ ABC圍成區(qū)域 D為底的柱體體積 .也就是計(jì)算二重積分 .d)326(?? ??Dyx ?解法 1 積分域 D的圖形如圖 (b)所示，先對(duì) y積分 . ???? ? ????? )31(2030 d)326(dd)326(xDyyxxyx ?作平行于 y軸的直線(xiàn)與區(qū)域 D相交，入口曲線(xiàn)為 y=0，作為積分 下限 .出口曲線(xiàn)為 ， 作為積分上限 . ?????? ?? 312 xy???????? ??? 30)31(202 d23)26( xyyxx? ???????????? ???????? ?? 3022d3
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