第二節(jié)二重積分的計(jì)算(已改無(wú)錯(cuò)字)
2022-08-17 20:21:20 本頁(yè)面
【正文】 若點(diǎn) M在直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)為 (x,y)，在極坐標(biāo)系中坐標(biāo)為 ，則有如下關(guān)系： ),( ?r.s i n,c o s ?? ryrx ?? 在極坐標(biāo)系中，我們 用 r=常數(shù)和 =常數(shù)來(lái)分割 區(qū)域 是由半徑為 r 和 的兩個(gè)圓弧與極 角等于 和 的兩條射線所圍成的小區(qū)域 .這個(gè)小 區(qū)域近似地看作是邊長(zhǎng)為 和 的小矩形，所以 它的面積 ?rr ?? ???rrr ??? ?? ??，?? ???? rr因此，在極坐標(biāo)系中 .ddd ?? rr?于是得到二重積分在極坐標(biāo)系中的表達(dá)式為 ,dd)s i n,c o s(d),( ???? ?DDrrrrfyxf ????這就是二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換公式 . 也可以寫(xiě)成 .dd)s i n,c o s(dd),( ???? ?DDrrrrfyxyxf ???(6) 公式 (6)區(qū)域 D左端的邊界的曲線方程應(yīng)利用直角坐標(biāo)表示，右端的邊界曲線方程應(yīng)用極坐標(biāo)表示 . 現(xiàn)在分三種情形討論： (1)若極點(diǎn)在區(qū)域 D之外 . 為了確定 θ的變化范圍，過(guò)原點(diǎn)作兩射線： θ=α和 θ=β，使 D恰好被夾在 此二射線之間，且 αβ. 那么，便知 θ取值范圍是 ；再確定 r的 取值范圍 .則 D可以記為 ),()(, 21 ????? rrr ????從而有 .d)s i n,c o s(ddd)s i n,c o s()()(21????? ??????????rrDrrrrfrrrrf??? ?? (2) 極點(diǎn)在區(qū)域 D的邊界線上， D的邊界曲線為 , 又設(shè)射線 剛好夾住區(qū)域 D，且 , 則 D可以表記為 )(?rr ????? ?? 與 ?? ?).(0 ???? rr ???? ，.d)s i n,c o s(ddd)s i n,c o s()(0????? ??? ??????rDrrrrfrrrrf則有 (3) 若極點(diǎn)在區(qū)域 D的內(nèi)部， D的邊界曲線為 .則 D可以記為 )(?rr ?).(0 ,π20 ?? rr ????.d)s i n,c o s(d dd)s i n,c o s()(0π20 ????? ? ??????rDrrrrfrrrrf則有 如果積分區(qū)域 D為圓、半圓、圓環(huán)、扇形域等，或被積函數(shù) f(x2+y2)形式，利用極坐標(biāo)常能簡(jiǎn)化計(jì)算 . 通常出現(xiàn)下面兩類問(wèn)題： 重積分，需依下列步驟進(jìn)行： (1) 將 代入被積函數(shù) . ?? s i n,c o s ryrx ??(2) 將區(qū)域 D的邊界曲線換為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式，確定相應(yīng)的積分限 . (3) 將面積元 dxdy換為 . ?ddrr二重積分步驟與 1相似，只需依反方向進(jìn)行 . 例 11 計(jì)算二重積分 區(qū)域 D為由 x2+y2=2y及 x=0圍成的第一象限內(nèi)的區(qū)域 . ，?? ?Dyxyx dd22解 區(qū)域 D為第一象限內(nèi)的圓心為 (0,1)，半徑為 1的右半圓，極點(diǎn)在 D的邊界線上 . D的邊界曲線為 x2+y2=2y， 用 代換，可得極坐標(biāo)表達(dá)式 .此時(shí) D可以表示為 ?? s i n,c o s ryrx ???sin2?r，?? s i n20 ,2π0 ???? r???? ???? ?? s i n202π022 dddd rrryxyxD????2π032π0s in203ds in38d31????r.916c o sc o s3138 2π03????????? ??? ??? 2π0 2 c o sd)c o s1(38 ??例 12 計(jì)算二重積分 ?? ??Dyxxyyx dd)( 22其中 D為 .122 ?? yx解 區(qū)域 D為圓心在原點(diǎn)，半徑為 1的圓內(nèi)區(qū)域，即極點(diǎn)在區(qū)域 D內(nèi) . 區(qū)域 D的邊界曲線為 ，將 代換，得極坐標(biāo)系下的表達(dá)式 r=D可以表示為 122 ?? yx ,c o s?rx ??s inry ?.10 ,π20 ???? r????? ????? 10 2π2022 d)s i nc o s(ddd)( rrrryxxyyxD?????????????????????π20π201043ds i nc o s4131ds i nc o s4131??????rr.3π2s i n8131π20
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