第二節(jié)二重積分的計(jì)算(編輯修改稿)
2024-08-16 20:21 本頁面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 xy由?????.1,1yx得?????,2,1xxy由? ???????? 21 12 d1 xyxxx解法 2 化為先對(duì) x積分后對(duì) y積分的二次積分 . 作平行于 x軸的直線與積分區(qū)域 D相交，可知入口曲線不唯一，這需要將積分區(qū)域分為兩個(gè)子區(qū)域 . ?????,2,xxy由?????.2,2yx得在 y軸上的積分區(qū)間為 ?????? 2,21 當(dāng) 時(shí)，平行于 x軸的直線與區(qū)域 D相交時(shí)，沿 x軸正方向看，入口曲線為 ，出口曲線為 x=2. 121 ?? yyx1? 當(dāng) 時(shí)，平行于x軸的直線與區(qū)域 D相交時(shí) ,沿 x軸正方向看，入口曲線為 x=y，出口曲線為 x=2. 21 ?? y?????? ??? 2 222121 2212122dddddd yyDxyxyxyxyyxyx?? ?????? ???????? ?? 21 2121 52 d831d1831 yyyyyy.496512172831841312121214????????????????????yyyy 顯然解法 1較簡(jiǎn)便 .因此選擇積分次序是將二重積分化為二次積分的重要問題 . 例 7 計(jì)算積分 ，其中區(qū)域 D由直線 y=x，y=0與 x=1圍成的區(qū)域 . ??Dyxx x dds in 解 由不定積分可知 不能用初等函數(shù)表示出來，因此，所給積分不能化為先對(duì) x積分后對(duì) y積分的積分次序 . ? xx x dsin 欲化為先對(duì) y積分后 對(duì) x積分的二次積分 .作平 行于 y軸的直線與區(qū)域 D 相交，沿 y軸正方向看，入口曲線為 y=0，出口曲線為 y=x，因此 .0 xy ??將積分區(qū)域 D投影到 x軸上，投影區(qū)間為 [0,1].故 ???? ? xDyx xxyxx x 010 ds i nddds i n.1c o s1ds in10??? ? xx?? 100ds in xyx xx例 8 計(jì)算二次積分 .ds ind 110 ?? y xx xy解 由不定積分可知 其被積函數(shù) 的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，因此依題中所給積分次序不能計(jì)算出此二重積分 .對(duì)此類問題?？紤]采用交換積分次序的方法來解決 .其一般步驟為： ? xx x dsin xxsin(1) 先依給定的二次積分限，定出積分區(qū)域 D的范圍，并依此作出 D的圖形 . (2) 再依區(qū)域 D的圖形，依前述確定積分限的方法，確定出另一種積分次序的積分限 . 由給定的積分限可知積分區(qū)域 D的范圍為 ).(1),(10內(nèi)層積分限所確定外層積分限所確定????xyy 依上述不等式組可作出區(qū)域 D的圖形， 再化為先對(duì) y積分后對(duì) x積分的二次積分 . ???? ?? xy yx xxxx xy 010110 ds i ndds i nd例 8通常又稱為交換二重積分次序問題 . .1c o s1 ??例 9 交換二次積分 的符號(hào)分次序 . ???? ??? yy yyxfyyyxfyI 2021010 d),(dd),(d解 所給積分由兩部分組成，設(shè)它們的積分區(qū)域分別為 D1與 分限將積分區(qū)域 Di用不等式表示： ???????????????.20,21: ,0,10:21 yxyDyxyD 如果轉(zhuǎn)換為先對(duì) y積分，后對(duì) x積分，只需作平行于 y軸的直線與區(qū)域 D相交，沿 y軸正方向看，入口曲線為 y=x，出口曲線為 y=2–x，因此 在 D中 ， xyx ??? 210 ?? x.d),(d 210 ?? ??? xx yyxfxI???? ??? xx yyxfxyyxfxI 2021010 d),(dd),(d 2例 10 交換二次積分 的積分次序 . 解 所給積分由兩部分組成，設(shè)它們的積分區(qū)域分別為 D1與 D2. ???????????????.20,21: ,0,10:221xyxDxyxD?????12xxy而 的解為 (1,1), ??????12xxy如果換為先對(duì) x積分，后 對(duì) y積分，作平行于 x軸 的直線與 D相交，沿 x軸 正方向看，入口曲線為 ，出口曲線為x=2–y，因此 .在區(qū)域 D中 ,于是 yx ?10 ?? yyxy ??? 2.d),(d 210 ?? ?? yy xyxfyI由于 的解為 (1,1)， 二、二重積分在極坐標(biāo)下的計(jì)算
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