在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算(編輯修改稿)
2024-11-14 12:59 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 — 這是先對(duì) x再對(duì) y的 累次積分 .同學(xué)們一 定要注意 要固定 y為常數(shù) . 對(duì) x積分時(shí) 11 5 ( 6 ) ,Dx y d ?????例 計(jì)算解 先作出區(qū)域 D的圖形： x y O 2D1D?1 1 1 y=x+1 y=1－ x 如果按 先對(duì) y再對(duì) x積分 ,則 D應(yīng)分為 101:10yxDx? ? ???? ? ?? 201 :01yxDx? ? ??? ???和此時(shí)對(duì)二重積分的計(jì)算需計(jì)算兩個(gè)二次積分 。如果按 1 , 1 0 .D y x y x y? ? ? ? ?其中 由 和 圍成12 x y O ?1 1 1 x=y?1 x=1?y 先對(duì) x再對(duì) y積分 ,則 D可表為 11:01y x yDy? ? ? ??????此時(shí)對(duì)二重積分的計(jì)算只需計(jì)算一個(gè)二次積分 . 11 :01y x yDy? ? ? ??????解因110119( 6) ( 6) .3yyD x y d dy x y dx???? ? ? ? ? ??? ? ?故13 sin6 ,Dy dx dyy??例 計(jì)算2 .D y x x y??其中 由直線 及拋物線 所圍成的區(qū)域解 (如圖 )若 先對(duì) y后對(duì) x積分 ,則有 10sin sinxxDyydx dy dx dy??? ? ?函數(shù)表示 ,積分難以進(jìn)行 。故不用此法 . sinyyx y O y=x 1 1 2xy?x y O y=x 1 1 2xy?若 (如圖 )先對(duì) x后對(duì) y積分 ,則 積分區(qū)域 D為： 201y x yy? ??????因 的原函數(shù)不能用初等 14 210sin sin yyDyydx dy dy dxyy??? ? ?則210sin yyy x d yy???1 20s in ()y y y d yy???1100s i n s i ny d y y y d y????1 s i n 1 0 . 1 5 8 5 .? ? ?并請(qǐng)同學(xué)們注意：凡遇 22sin , sin , c os ,x dx x dx x dxx? ? ?1, lnx dxe d x x??22,xxe d x e d x???等不能用初初等函數(shù)表示 的積分 ,均須更換積分次序 .但 在更換積分次序時(shí) ,必須 15 先畫(huà)出積分區(qū)域 D的圖形 ,再 根據(jù)積分次序的要求 ,重新 寫(xiě)出 D的邊界方程 . 2211117 ( 1 ) . ( , ) .xxd x f x y d y?? ? ???例 更換 的積分次序2211 : 11
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