空間直角坐標(biāo)系及坐標(biāo)運(yùn)算(編輯修改稿)
2025-09-01 11:09 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 2c ) ＝32a ＋12b ＋32c . 【名師點(diǎn)評】 ( 2 ) 中誤把 A 1 A→＝－ a 寫作 a ， ( 3 ) 表示不出 MP→和 NC 1→. 課堂互動講練 互動探究 題目條件不變，試用 a 、 b 、 c 表示MC→＋ MC 1→. 解： MC→＋ MC 1→＝ MA→＋ AB→＋ BC→＋ MA 1→＋ A 1 B 1→＋ B 1 C 1→＝ b ＋ c ＋ b ＋ c＝ 2( b ＋ c ) ． 應(yīng)用共線向量定理、共面向量定理，可以證明點(diǎn)共線、點(diǎn)共面、線共面． 1．證明空間任意三點(diǎn)共線的方法 對空間三點(diǎn) P， A， B可通過證明下列結(jié)論成立來證明三點(diǎn)共線 課堂互動講練 考點(diǎn)二 共線向量定理、共面向量定理的應(yīng)用 課堂互動講練 ( 1 ) PA→＝ λ PB→； ( 2 ) 對空間任一點(diǎn) O ， OP→＝ OA→＋ t AB→； ( 3 ) 對空間任一點(diǎn) O ， OP→＝ x OA→＋ y OB→( x＋ y ＝ 1) ． 2．證明空間四點(diǎn)共面的方法 對空間四點(diǎn) P， M， A， B可通過證明下列結(jié)論成立來證明四點(diǎn)共面 課堂互動講練 ( 1 ) MP→＝ x MA→＋ y MB→； ( 2 ) 對空間任一點(diǎn) O ， OP→＝ OM→＋ x MA→＋ y MB→； 課堂互動講練 ( 3 ) 對空間任一點(diǎn) O ， OP→＝ x OM→＋ y OA→＋ z OB→( x ＋ y ＋ z ＝ 1) ； ( 4 ) PM→∥ AB→( 或 PA→∥ MB→或 PB→∥ AM→) ． 課堂互動講練 例 2 已知 A、 B、 M三點(diǎn)不共線，對于平面 ABM外的任一點(diǎn) O，確定在下列各條件下，點(diǎn) P是否與A、 B、 M一定共面？ ( 1 ) OB→＋ OM→＝ 3 OP→－ OA→； ( 2 ) OP→＝ 4 OA→－ OB→－ OM→. 課堂互動講練 【 思路點(diǎn)撥 】 先化簡已知等式，觀察它能否轉(zhuǎn)化為四點(diǎn)共面的條件． 【解】 法一： ( 1 ) 原式可變形為 OP→＝ OM→＋ ( OA→－ OP→) ＋ ( OB→－ OP→) ＝ OM→＋ PA→＋ PB→. ∴ OM→＝ OP→－ PA→－ PB→. 由共面向量定理的推論知 M 與 P 、 A 、B 共面 ． 課堂互動講練 ( 2 ) 原式可變形為 OP→＝ 2 OA→＋ OA→－OB→＋ OA→－ OM→＝ 2 OA→＋ BA→＋ MA→. 由共面向量定理的推論可得 P 位于平面 ABM 內(nèi)的充要條件可寫成 OP→＝ OA→＋x BA→＋ y MA→. 而此題推得 OP→＝ 2 OA→＋ BA→＋ MA→， ∴ P 與 A 、 B 、 M 不共面 ． ∴ 3＋ (－ 1)＋ (－ 1)＝ 1， ∴ B與 P、 A、 M共面， 即 P與 A、 B、 M共面． ∵ 4＋ (－ 1)＋ (－ 1)＝ 2≠1， ∴ P與 A、 B、 M不共面． 課堂互動講練 法二： ( 1 ) 原式可變形為 OB→ ＝ 3 OP→－ OA→－ OM→， ( 2 ) OP→ ＝ 4 OA→ － OB→ － OM→ ， 課堂互動講練 【名師點(diǎn)評】 在應(yīng)用法二時(shí)，要注意公式 OP→＝ x OA→＋ y OB→＋ z OC→所滿足的條件是從一點(diǎn)出發(fā)的四個(gè)向量，且系數(shù)和為 1. 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算相似，只是多出一個(gè)坐標(biāo)，與平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算作一些對比可以較容易地掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算問題． 課堂互動講練 考點(diǎn)三 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 課堂互動講練 例 3 已知空間三點(diǎn) A (0 , 2 , 3
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