在直角坐標系下二重積分的計算-資料下載頁
2025-10-09 12:59本頁面
【正文】 y)=g(x)h(y)時 , ( , ) ( ( ) ) ( ( ) )bdacDf x y d x d y g x d x h y d y???? ? ?則二重積分 20 9 ( ) , ( ) [ , ] ,f x g x a b例 設 均為 上的嚴格單增的連續(xù)函數(shù): ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a ab a f x g x d x f x d x g x d x??? ? ?求證 C ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a ab a f x g x d x f x d x g x d x? ? ?? ? ?證令 C ( ) ( ) ( ) ( )b b b ba a a ad y f x g x d x f y d y g x d x??? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( )b b b ba a a af x g x d x d y f y g x d x d y??? ? ? ?[ ( ) ( ) ] ( )bbaa f x f y g x d x d y????則 21 [ ( ) ( ) ] ( )bbaaC f y f x g y d x d y????同理2 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]bbaaC f x f y g x g y d x d y? ? ? ??? ( ) , ( ) [ , ] ,f x g x a b而 均為 上的嚴格單增的連續(xù)函數(shù)則[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0 0f x f y g x g y C? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a ab a f x g x d x f x d x g x d x??? ? ?21 0 2 .y x y x? ? ?例 求由曲線 與 所圍成平面圖形的面積22 x y O y=x 2 ?1 2 2yx???2 x y 2D1D1 o 2yx?? 1 2 2D :D解 由題知積分區(qū)域 滿足222 21 2 19 ( 2) .2yyD d dy dx y y dy? ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?則2 2 12y x yy? ? ? ?? ? ? ??? ?21 1 , ( , ) 1 , 0 2 .Dy x d x d y D x y x y? ? ? ? ???例 計算 其中22222 y x y xyxx y y x? ????? ?????解因23 1 2 32 2 2D D D Dy x d x d y y x d x d y x y d x d y?? ? ? ? ??? ?? ??221 2 1221 1 0xxd x y x d y d x x y d y??? ? ? ?? ? ? ?5 .32???x y 2D1D1 o 2yx?? 1 2
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