16776二重積分-資料下載頁(yè)
2024-09-29 19:02本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】分的概念，我們先來(lái)討論兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題。這且在這里它的頂是曲面Dyxfyxfz0),(),,(??體的體積現(xiàn)在要計(jì)算上述曲頂柱種立體叫做曲頂柱體。個(gè)小閉區(qū)域分成用一組曲線網(wǎng)把。，該曲頂柱體就被相應(yīng)個(gè)小區(qū)域的面積。這樣表示第且以ii??的平頂柱體的體積）為高而底為（iiif????片的質(zhì)量連續(xù)，現(xiàn)在要計(jì)算該薄M. 能直接用密度是變量，薄片的質(zhì)量不由于面密度),(yx?在小閉在近似地看作均勻薄片。很小，這些小快就可以(i??則上任取一點(diǎn)區(qū)域的面積也記作),,()iii????通過(guò)求和，再令個(gè)小塊的質(zhì)量的近似值可看作第ni. 上面兩個(gè)問(wèn)題所要求的，都?xì)w結(jié)為同一形式的和的極限。因此我們要一般地研究這種和的極限，并抽象出下。述二重積分的定義。如果當(dāng)個(gè)小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨于零時(shí)，假定在區(qū)域到的所有二元函數(shù)均被D. 性質(zhì)1被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號(hào)的外面，此性質(zhì)表示二重積分對(duì)于積分區(qū)域具有可加性。域來(lái)說(shuō)，這不是一種切實(shí)可行的方法。上連續(xù)在區(qū)間其中函數(shù)baxx,)(),(21??來(lái)截此曲頂柱體，面的平面現(xiàn)在用平行于),(00baxxxyOz??
【正文】 i rrrrff ?????? ?? ???? ?? ???)s i n,c os(l i m),(l i m010即 ???? ?DDr dr drrfdyxf ???? )s i n,c os(),(由于在直角坐標(biāo)系中 ??Dd x d yyxf ),(??Ddyxf ?),(也常記作 所以 ,上式又可寫(xiě)成 ???? ?DDr dr drrfdx dyyxf ??? )s i n,c os(),(這就是二重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為極坐標(biāo)的變換 元素。就是極坐標(biāo)系中的面積公式，其中 ?r d r d公式（ ）表明，要把二重積分中的變量從直角坐標(biāo)變 變換為極坐標(biāo)，只要把被積函數(shù)中的 ,s i n,c o s, ?? rryx 分別換成素?fù)Q成極坐標(biāo)中的面積元積元素并把直角坐標(biāo)系中的面 dydx ,。?rdrd接下來(lái)的問(wèn)題，仍然是要將它化成二次積分來(lái)計(jì)算。為 積分的次序，下面積分，后對(duì)先對(duì)簡(jiǎn)便起見(jiàn)，一般都選擇 ?r題。標(biāo)下二次積分的定限問(wèn)分三種情況來(lái)討論極坐一射線與區(qū)域的外部，且過(guò)極點(diǎn)的任在積分區(qū)域極點(diǎn) DO)1(）點(diǎn)（圖的邊界的交點(diǎn)不多于兩 117 ?DADo)(1 ???r)(2 ???r??AoD)(2 ???r)(1 ???r? ?二重積分化為二次積分的公式為 ?????? ?? ?? ?? dr drrrfr dr drrfD? ??? ??????? )( )(21 )s i n,c os()s i n,c os(r drrrfdr dr drrfD???? ? )( )(21 )s i n,c os()s i n,c os( ?? ???? ??????）的邊界上（圖在區(qū)域極點(diǎn) 127)2( ?DO上式也寫(xiě)成 （ ） )( ?來(lái)表示，可以用不等式這時(shí)，閉區(qū)域 ????? ???? ),(0 rD）成為而公式（ ?r drrrfdr dr drrfD???? ? )(0 )s i n,c os()s i n,c os( ???? ??????AoD??Do A)(???r)(???r127 ?圖 137 ?圖的一射線與區(qū)域的內(nèi)部，且過(guò)極點(diǎn)的任在區(qū)域極點(diǎn) DDO)3(）邊界只有一交點(diǎn)（圖 137 ?可以用不等式這是閉區(qū)域 D ???? 20),(0 ???? r成為來(lái)表示，而公式 )( ?r drrrfdr dr drrfD???? ? )(020 )s i n,c os()s i n,c os( ??? ??????例 3 222,22 ayxDdx dyeDyx ???? ?? 是圓域其中計(jì)算解 ?? 20,0 ???? arD 可表示為在極坐標(biāo)中，閉區(qū)域有及由公式 )()(?? ? dr drer dr dedx dye R rDrDyx ? ????????????? ???? 20 02222??de r2020221??????? ?? ????? ? ?20)1(21 2 de a)1( 2ae ??? ?? 作業(yè) P142 習(xí)題 22 習(xí)題 24 習(xí)題 26（ 2） 習(xí)題 3
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