利用二重積分證明不等式-資料下載頁
2024-10-27 16:26本頁面
【正文】 大小比較問題，只要將這個函數(shù)式找到了，通過設函數(shù)，求導判斷它的單調(diào)性，就可以解決不等式證明問題。難點在于找這個一元函數(shù)式，這就是“構造函數(shù)法”，通過這類數(shù)學方法的練習，對培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力是有很大好處的，這也是進一步學習高等數(shù)學所需要的。例3．（2004年全國卷理工22題）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)x，g(x)=xlnx,設0ab證明：0g(a)+g(b)2g(a+b)(ba)ln2 2證明：設g(x)=xlnx,g39。(x)=lnx+1 設F(x)=g(a)+g(x)2g(a+x)2則F39。(x)=g39。(x)2[g(a+xa+x)]=lnxln22當0xa時，F(xiàn)39。(x)0，當xa時，F(xiàn)39。(x)0 因此，F(xiàn)（x）在區(qū)間（0，a）內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間[a,+165。)內(nèi)為增函數(shù)，于是在x=a 時，F(xiàn)（x）有最小值F(a)=0又ba，所以0g(a)+g(b)2g(a+b)2設G(x)=g(a)+g(x)2g(a+x)(xa)ln2，則G39。(x)=lnxlna+xln2=lnxln(a+x)2當x0時，G39。(x)0，因此G（x）在區(qū)間(0,+165。)內(nèi)為減函數(shù)； 因為G(a)=0，ba，所以G(b)0，即：g(a)+g(b)2g(a+b)(ba)ln2。2評注：本題在設輔助函數(shù)時，考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個端點，因此，設輔助函數(shù)時就把其中一個端點設為自變量，范例中選用右端點，讀者不妨設為左端點試一試，就更能體會到其中的奧妙了。通過以上例題，我們可以體會到用導數(shù)來證明不等式的基本要領和它的簡捷。總之，利用導數(shù)證明不等式的關鍵是“構造函數(shù)”，解決問題的依據(jù)是函數(shù)的單調(diào)性，這一方法在高等數(shù)學中應用的非常廣泛，因此，希望同學門能認真對待，并通過適當?shù)木毩曊莆账?。第五篇：?shù)列利用函數(shù)證明數(shù)列不等式數(shù)列已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a2an=S2+Sn對一切正整數(shù)n都成立。（Ⅰ）求a1，a2的值；（Ⅱ）設a10，數(shù)列{lg大值。2已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=（1）確定常數(shù)k，求an；（2）求數(shù)列{3在等差數(shù)列{an}中，a3+a4+a5=84,a9=73.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項公式；（Ⅱ）對任意m206。N*，將數(shù)列{an}中落入?yún)^(qū)間(9,9)內(nèi)的項的個數(shù)記為bm，求數(shù)列m2m10a1的前n項和為Tn，當n為何值時，Tn最大？并求出Tn的最an12n+kn，k206。N*,。n2{bm}的前m項和Sm.
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