第二節(jié)、二重積分的性質(zhì)-資料下載頁
2024-10-11 12:29本頁面
【導(dǎo)讀】性質(zhì)5如果在D上),(),(yxyxf??上連續(xù),,的面積是D?是變量x的偶函數(shù)????），）及（，解得（2222??)0ln(22只有邊界上的等于故??yxdyx的大小與比較32)()(?實際上對其它、上述討論限制了注：,0),(1??分化為二次積分的、確定積分限是二重積?
【正文】 d r drrfdyxf ???? )s i n,c o s(),(其中 ?? rd rdd ? 為極坐標(biāo)系下的面積元素 注 : 相當(dāng)于二重積分作了變量代換 ,因而換元就要 換限 ?? D r d r drrrf ?? )s in,c o s( 化為二次積分 情形（ 1）極點在 D的外部 ?????? ???? rrD ),()(: 21?? ? ??D r drrrfddyxf ?? ?? ?? ???? )( )(21 )s i n,c os(),(情形（ 2）極點在 D的邊界上 )(2 ???r)(1 ???r??)(1 ???r)(2 ???r??o x o xD ????? ???? ),(0: rD?? ? ??D r d rrrfddyxf ?? ?? ???? )(0 )s i n,c o s(),( 情形（ 3）極點在 D內(nèi) ???? 20),(0: ???? rD?? ? ??D r d rrrfddyxf ? ?? ???? 20 )(0 )s i n,c o s(),(xo xoo xD ?? ? ?)(???r)(???r例 1：計算 ?? ?? D d x d yyxI ,22 D是由曲線 所圍區(qū)域與 axyxayx ???? 22222解： 21 DDD ???? 20,0:1 ???? arD222 ,c o s0: ?? ?? ????? arD?? ???? 1 2 22D D dr drdr drI ??? ?? ? ??? 2 2 c o s0 220 0 2 ? ? ?? ?? aa drrddrrd?? ???? ? 22230333233233332 c o sc o s??? ?????? daadaaxyoar??cosar ?)( 32332394332 ???? ?? aaa例 將 ? ? ??10 11 2 ),(xx dyyxfdx化為極坐標(biāo)系下的 二次積分 解： 10,11: 2 ?????? xxyxD在極坐標(biāo)系下 20,1c oss i n1: ???? ????? rD????? 10c o ss i n12 )s i n,c o s(?????? r d rrrfd原式xyr ????? 1c oss in 1 ??11 2 ???? rxy例 求球體 2222 4 azyx ??? 被圓柱面 )0(222 ??? aaxyx 所截得的（含在圓柱面內(nèi)部的） 立體的體積。 解：由對稱性 體積 dx dyyxaV D?? ??? 22244在極坐標(biāo)系下 20,c o s20: ??? ???? arD?r dr draV D?? ?? 2244 ? ? ?? 20 c o s20 2244? ?? r d rrad a故 ? ?? 20 33332 )s in1(? ?? da)( 3223332 ??
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