【正文】 ),()( 20 221 2? ? ??x xdzzyxfdydxB。( 3 ) 計算二重積分 ??zDd x d yzyxf ),( 其結(jié)果為 z 的函數(shù) )( zF ；( 4 ) 最后計算單積分 ?21)(ccdzzF 即得三重積分值 .z例 4 計算三重積分 ????z d x d y d z ，其中 ? 為三個坐標(biāo)面及平面 1??? zyx 所圍成的閉區(qū)域 .解 （一） ????zdx dy dz ,10 ????zDdx dyz dz}1|),{( zyxyxD z ????)1)(1(21 zzdxdyzD?????原式 ? ???102)1(21 dzzz241?.xozy111 ????z dx d y d z解 （二）? ?? ? ??? z zy dxdyz d z 10 1010?? ? ??? z dyzyz d z 1010 )1(? ??? 10 2)1(21 dzzz 241? .xozy111例 5 計算三重積分 dx dy dzz????2，其中 ? 是由 橢球面 1222222???czbyax所成的空間閉區(qū)域 .:? ,|),{( czczyx ??? }1 222222czbyax???原式 ,2 ?????zDccd x d ydzzxyzozD解 )1()1( 222222czbczadxdyzD?????? ??),1( 22czab ????? ??? c c dzzczab 222)1( .154 3ab c??|),{( yxD z ?? }1 222222czbyax ???原式 例 6 計算三重積分 dx dyd zxy?????21 ，其中 ?由曲面221 zxy ???? ， 122?? zx ， 1?y 所圍成 .將 ? 投影到 z ox 平面得:xzD 122 ?? zx ,先對 y 積分，再求 xzD 上二重積分 ,解 如圖 , ??? ?????112221 zxDy d yd x d zxxz原式dzzxxdx xx 21221111222??? ? ?????dxzzxx x x2 21 132112 |)3(1???? ??? ??? ??? 1 1 42 )21(31 ?三重積分的定義和計算 在直角坐標(biāo)系下的體積元素 dx d y dzdv ?（計算時將三重積分化為三次積分） 三、小結(jié) 思考題 ? 為六個平面 0?x ， 2?x ， 1?y ， 42 ?? yx ，xz ? ， 2?z 圍成的區(qū)域， ),( zyxf 在 ? 上連續(xù)，則累次積分 ____ ????? dvzyxf ),( .選擇題 : 。0???????????vyxvuyvux即),(),(vuyxJ???,2121212121?????????????DvuDxyxyd u d vedxdye21故?? ??vvvuduedv2021? ??? 20 1 )(21 v d vee .1?? ee例 2 解 所圍成的閉區(qū)域．橢圓為其中計算1,122222222??????byaxDdxdybyaxD.20,0,0,0 ??????? rba其中???????,s i n,c o sbryarx作廣義極坐標(biāo)變換},20,10),{( ?????????? rrDD在這變換下.),( ),( ab rr yxJ ???? ?故換元公式仍成立，處為零，內(nèi)僅當(dāng)在 0?? rDJ?d r dabrrd x d ybyaxDD?????????? 2222211 .32 ab?? 二、小結(jié) 的形式．同時也兼顧被積函數(shù)的形狀，于積分區(qū)域．作什么變換主要取決),(1yxfD基本要求 :變換后定限簡便，求積容易． .),(),(1),(),(.2yxvuvuyxJ?????? 計算 ?deyxy yxD2)( ??? ? ，其中 D ： 1?? yx ，0?x 和 0?y 所圍成 .思考題 令??????yvyxu,???????vyvux雅可比行列式 1),( ),( ???? vu yxJ ,變換后區(qū)域為思考題解答 o xy1?? yxDo uv vu?D??deyx y yxD2)( ???? ?? ?? D dudvJvuf ||),(dveuvdu uu 2010?? ?? dueu u 210 2? ?? ).1(41 ?? eD ?： 1?? yx 1?? u0?x 0??? vu0?y 0?? v一、 作適當(dāng)?shù)淖儞Q , 計算下列二重積分 :1 、 ??Dd x d yyx22, 其中 D 是由兩條雙曲線 1?xy 和2?xy , 直線 xy ? 和 xy 4? 所圍成的在第Ⅰ象限的閉區(qū)域 .2 、 ???Dd x d yyx )(22, 其中D是橢圓區(qū)域 : 1422?? yx .二、 設(shè)D是由曲線333,4, yxxyxy ???,34 yx ?所圍成的第Ⅰ象限部分的閉區(qū)域 , 求其面積 .三、試證 :????Dd x d ycbyaxf )( ??????11222)(12 ducbaufu, 其中D為 0,12222???? bayx 且.練 習(xí) 題 一、 1 、 2ln37； 2 、 ?325.二、81.練習(xí)題答案 第五節(jié) 二重積分的應(yīng)用 一、問題的提出 二、曲面的面積 三、平面薄片的重心 四、平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量 五、平面薄片對質(zhì)點的引力 六、小結(jié) 思考題 一、問題的提出 把定積分的元素法推廣到二重積分的應(yīng)用中 . ?d?d?dyxf ),(?dyxf ),(),( yx 若要計算的某個量 U對于閉區(qū)域 D具有可加性(即當(dāng)閉區(qū)域 D分成許多小閉區(qū)域時，所求量 U相應(yīng)地分成許多部分量，且 U等于部分量之和 )，并且在閉區(qū)域 D內(nèi)任取一個直徑很小的閉區(qū)域 時，相應(yīng)地部分量可近似地表示為 的形式，其中 在 內(nèi)．這個 稱為所求量 U的 元素 ，記為 ，所求量的積分表達式為 ???DdyxfU ?),(dU實例 　 一顆地球的同步軌道通訊衛(wèi)星的軌道位于地球的赤道平面內(nèi)，且可近似認為是圓軌道．通訊衛(wèi)星運行的角速率與地球自轉(zhuǎn)的角速率相同，即人們看到它在天空不動．若地球半徑取為 R ，問衛(wèi)星距地面的高度 h 應(yīng)為多少？通訊衛(wèi)星的覆蓋面積是多大？二、曲面的面積 衛(wèi)星 ho xz１．設(shè)曲面的方程為： ),( yxfz ?,Dxoy 面上的投影區(qū)域為在,Dd ??設(shè)小區(qū)域,),( ?dyx ?點.)),(,(的切平面上過為 yxfyxMS?.dsdAdAdsszd???則有，為；截切平面為柱面，截曲面軸的小于邊界為準(zhǔn)線，母線平行以如圖， ?d ),( yxM dAxyzs?o ?,面上的投影在為 xoydAd ?? ,c o s ?? ??? dAd,1 1c o s 22yx ff ?????????? dffdA yx 221,1 22?? ????Dyx dffA ?曲面 S的面積元素 曲面面積公式為： d x d yAxyDyzxz?????? ??? 22 )()(1３．設(shè)曲面的方程為： ),( xzhy ?曲面面積公式為： ? ? ? ? .122 d z d xAzxDxyzy?????? ???２．設(shè)曲面的方程為： ),( zygx ?曲面面積公式為： ? ? ? ? 。0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),(?????????????????DDd u d vvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvuxDxoyDu o vvuyyvuxxTDxoyyxf是一對一的，則有變換上雅可比式在；上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在且滿足，平面上的變?yōu)槠矫嫔系拈]區(qū)域?qū)⑦B續(xù)，變換上平面上的閉區(qū)域在設(shè)定理例 1 解 所圍成的閉區(qū)域．線軸和直軸、由其中計算2,??????yxyxDd x d yeDxyxy, xyvxyu ????令.2,2 uvyuvx ????則,DD ??Dxyo2?? yxD?uvovu?vu ??2?v.22。1(422 Re ????當(dāng) ??R 時 ,41 ??I ,42 ??I故當(dāng) ??R 時 ,4??I 即 ??? ? 20)( 2 dxe x 4? ,所求廣義積分 ??? ?02 dxe x2? .,21 III ???)。)( 20 2? ?? R x dxe ?1I ?? ??122Dyx dxdye?? ?? ?? R r r d red 00 22 )。 當(dāng)0),( ?yxf時 , 則??1),(Ddyxf ? _____ ____ _??2),(Ddyxf ? .練 習(xí) 題 4 、 ?? ?Ddyx ?)s i n ( 22 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ? , 其中 ? 是圓域 222 4?? yx 的面積 , ??? 16 .二、 利用二重積分定義證明 : ???? ?DDdyxfkdyxkf ?? ),(),( .( 其中 k 為常數(shù) )三、 比較下列積分的大小 : 1 、 ?? ?? ??D Ddyxdyx ??322)()( 與 , 其中 D 是由圓 2)1()2(22???? yx 所圍成 . 2 、 ???? ?? ?? dyxdyxD2)][l n()l n( 與 , 其中 D 是矩形 閉區(qū)域 : 10,53 ???? yx .四、估計積分 ?? ???DdyxI ?)94( 22 的值 , 其中 D 是圓 形區(qū)域 : 422 ?? yx .一、 1 、連續(xù)；2 、以 ),( yxfz ? 為曲頂 , 以 D 為底的曲頂柱體體積 的代數(shù)和； 3 、 , ； 4 、 ? .三、 1 、 ???? ???DDdyxdyx ??32)()( ； 2 、??????? ?? dyxdyxD2)][ l n ()l n ( .四、 ??????? ?? 100)94(3622dyx .練習(xí)題答案 第二節(jié) 二重積分的計算法（ 1） 一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分 二、小結(jié) 思考題 如果積分區(qū)域為： ,bxa ?? ).()( 21 xyx ?? ??其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù) . )(1 x? )(2 x? ],[ ba一、利用直角坐標(biāo)系計算二重積分 ［ X－型］ )(2 xy ??a bD)(1 xy ??Dba)(2 xy ??)(1 xy ??為曲頂柱體的體積．為底，以曲面的值等于以),(),(yxfzDdyxfD??? ??