[理學(xué)]93三重積分及其計算(參考版)
2025-01-22 14:36本頁面
【正文】 10 (2) 。 8。 5。 2。 補充：利用對稱性簡化三重積分計算 使用對稱性時應(yīng)注意： １、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性； ２、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個坐標(biāo)軸的 奇偶性． 一般地，當(dāng)積分區(qū)域 ? 關(guān)于 x o y 平面對稱，且被積函數(shù) ),( zyxf 是關(guān)于 z 的奇函數(shù)，則三重積分為零，若被積函數(shù) ),( zyxf 是關(guān)于 z 的偶函數(shù)，則三重積分為 ? 在 x o y 平面上方的半個閉區(qū)域的三重積分的兩倍 .?????dvzyxfI ),(對① ?若 關(guān)于 xoy 面對稱 時當(dāng) ),(),()1( zyxfzyxf ???0?I時當(dāng) ),(),()2( zyxfzyxf ??????1),(2?dvzyxfI? ?0,),(|),(1 ??? zzyxzyx ??② ?若 關(guān)于 xoz 面對稱 時當(dāng) ),(),()1( zyxfzyxf ???0?I時當(dāng) ),(),()2( zyxfzyxf ??????2),(2?dvzyxfI? ?)0,(|),(2 ??? yzyxzyx ??③ ?若 關(guān)于 yoz 面對稱 時當(dāng) ),(),()1( zyxfzyxf ???0?I時當(dāng) ),(),()2( zyxfzyxf ??????3),(2?dvzyxfI? ?0,),(|),(3 ??? xzyxzyx ??練習(xí)題 1 計算 圍成的閉區(qū)域 . ,s i n 2??Dd x d yxxyxyD ??? ,2/,0: ?y x o y=x x 2/?練習(xí)題 3 求由拋物柱面 2y2=x,平面 和 z=0所圍成的立體的體積 . 1224 ??? zyx練習(xí)題 2 交換積分順序 ?? ?axxaxadyyxfdx2220 2),( 求拋物面 和錐面 所圍成立體的體積 . azyx ?? 22 )0(2 22 ???? ayxaz練習(xí)題 4 練習(xí)題 5 化二重積分 為二次積分： ???Ddx dyyxfI ),(0,2, 22 ???? yxyxy (1) D由 圍成 。 所以 : dv = rdrd?dz. ?? ?? dvzyxf ),( .),s i n,c o s(???? ? ??? dzr dr dzrrf所以 然后再把它化為三次積分來計算 . 積分次序一般是先 z次 r后 ? . 積分限是根據(jù) z, r, ? 在積分區(qū)域中的變化范圍來確定 . 例 1 1,:,)( 22222 ???????? zyxzdvzyx ??解 將 投到 xoy 面得 Dxy： ? 122 ?? yx1,10,20 ?????? zrr??? ? ???? ???????2010122222 )()(rr d zzrdrddvzyx103)343(24103 ?? ???? ? drrrr注 若空間區(qū)域為以坐標(biāo)軸為軸的圓柱體、圓錐體或旋轉(zhuǎn)體時，通常情況下總是考慮使用柱坐標(biāo)來計算。 半徑為 r及 r+dr的園柱面 。 平面 z及 z+dz。 x
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