167132三重積分(參考版)
2024-10-03 19:20本頁面
【正文】 平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量 設 xoy 平面上有 n 個質(zhì)點，它們分別位于),(11yx ， ),(22yx ， ,? ),(nnyx 處，質(zhì)量分別為nmmm ,21? ．則該質(zhì)點系對于 x 軸和 y 軸的 轉(zhuǎn)動慣量 依次為 ???niiixymI12， ???niiiyxmI12. 設有一平面薄片，占有 xoy 面上的閉區(qū)域D ，在點 ),( yx 處的面密度為 ),( yx? ，假定),( yx? 在 D 上連續(xù)，平面薄片對于 x 軸和 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量為薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量 x,),(2???Dx dyxyI ??薄片對于 軸的轉(zhuǎn)動慣量 y.),(2???Dy dyxxI ??7。質(zhì)量 面密度為 f(x,y) 的平面薄片的質(zhì)量 ???DdyxfM ?),(體密度為 f(x,y,z) 的空間體的質(zhì)量 ?? ???dvzyxfM ),(5。曲面的面積 ① ．設曲面的方程為： ),( yxfz ?,Dxoy 面上的投影區(qū)域為在,Dd ??設小區(qū)域如圖， ,),( ?dyx ?點 ?d),( yxM dAxyzs?o ?.)),(,(的切平面上過為 yxfyxMS?,面上的投影在為 xoydAd ?? ,c os ?? ??? dAd,11c o s22yx ff ????? ????? dffdAyx221曲面 S的面積元素 ,1 22?? ????Dyx dffA ?② ．設曲面的方程為： ),( zygx ?曲面面積公式為： 。平面圖形的面積 由二重積分的性質(zhì)，當 f( x, y ) =1 時 區(qū)域 D的面積 ???DdA ?2。 例 2 2,1,:, 2222 ????????zzyxzd x d yd zyxe z ?? ????????zzryrx??s inc o s, 20,20 ???? r??時當 10 ?? r 21 ?? z時當 21 ?? r 2?? zr][212201021r d zredrr d zredrdIrzz???? ? ?? ? ???? ?????21222 2)(2)(2 edreeee r ???在球坐標系下的計算法 的球面坐標．就叫做點，個數(shù)面上的投影，這樣的三在點為的角，這里段逆時針方向轉(zhuǎn)到有向線軸按軸來看自為從正軸正向所夾的角，與為有向線段間的距離，與點點為原來確定，其中，三個有次序的數(shù)可用為空間內(nèi)一點，則點設MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM??????),(????????.c o s,sinsin,c o ssin?????rzryrxPx yzo),( zyxM?r???zyxA,0 ???? r,0 ????.20 ????規(guī)定 如圖， 球面坐標系中的體積元素為 ,s i n2 ??? ddr drdv ???? ??d x d y d zzyxf ),(????.s i n)c os,s i ns i n,c oss i n( 2 ???????? ddr drrrrf?drxyzodr??dsinr?rd?d???d?sinr然后把它化成對 的三次積分 ??,r具體計算時需要將 用球坐標系下的不等式組表示 ?積分次序通常是 ?? 后次先 r例 3 計算 ?????? d x d y d zyxI )( 22 ，其中 ? 是 錐面222 zyx ?? ， 與 平面 a
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