定積分的概念及性質(zhì)(參考版)
2024-08-16 04:26本頁面
【正文】 五、 水利工程中要計(jì)算攔水閘門所受的水壓力，已知閘門上水的 是壓強(qiáng) P 的水深 h 函數(shù)，且有)(2米千米hp ?，若閘門高米3?H，寬米2?L，求水面與閘門頂相齊時(shí)閘門所受的水壓力P（見教材圖 53 ） .一、 1 、 ????niiixf10)(l i m ??； 2 、被積函數(shù) , 積分區(qū)間 , 積分變量；3 、介于曲線 )( xfy ? , 軸x , 直線 bxax ?? , 之間 各部分面積的代數(shù)和；4 、?badx .二、 abab ??? )(3133.三、 )(2122ab ? .五、 ( 千牛 ).練習(xí)題 1答案 一、 填空題：1 、 如果積分區(qū)間 ? ?ba , 被點(diǎn) c 分成 ? ? ? ?bcca , 與 ，則定積分的可加性為??badxxf )( _ ______ __ _ ；2 、 如果 ? ?baxf ,)( 在 上的最大值與最小值分別 為M m與 ，則?abdxxf )( 有如下估計(jì)式： _ ______ __ _ ______ ___ ______ __ _____ ；3 、 時(shí)當(dāng) ba ? ，我們規(guī)定?badxxf )( 與?abdxxf )( 的關(guān)系是 _____ ______ __ ______ ___ ；4 、 積分中值公式 ? ?badxxf )()(,))(( baabf ??? ??的幾何意義是 _ ______ ___ _____ ；練 習(xí) 題 2 5 、 下列兩積分的大小關(guān)系是：（ 1 ） ?102dxx ____ _ ?103dxx（ 2 ） ?21ln xdx ____ __ _ ?212)(l n dxx（ 3 ） dxex?10____ __ _ ? ?10)1( dxx二、 證明： ? ??babadxxfkdxxkf )()( （ 是常數(shù)k ） .三、 估計(jì)下列積分 ?333 c o t xdxx a r c 的值 .四、證明不等式： ? ??2121 dxx .六、用定積分定義和性質(zhì)求極限 :1 、 )21. . .2111(l i mnnnn???????。例 3. P233 題 3 4. P233 題 8 (2) , (4) 題 8(4) 解 : 設(shè) ,)1l n ()( xxxf ??? 則 xxf ???? 111)( ]1,0(?x,0?)(xf]1,0(,0)0()( ??? xfxf0d)(10 ?? xxf即 xxxx d)1(lnd 1010 ?? ??一、 填空題：1 、 函數(shù) )( xf 在 ? ?ba , 上的定積分是積分和的極限，即 ??badxxf )( ____ ______ ___ ____ .2 、 定積分的值只與 ______ 及 ___ ____ 有關(guān)，而與____ _____ 的記法無關(guān) .3 、 定積分的幾何意義是 _ ______ ___ ______ ______ _ .4 、 區(qū)間 ? ?ba , 長(zhǎng)度的定積分表示是 ___ ______ __ _ _ .二、 利用定積分的定義計(jì)算由拋物線 ,12?? xy 兩直線)(, abbxax ??? 及橫軸所圍成的圖形的面積 .三、 利用定積分的定義計(jì)算積分 ?baxdx ， )( ba ? .練 習(xí) 題 1 四、 利用定積分的幾何意義，說明下列等式：1 、41102????dxx 。這一性質(zhì)之逆成立嗎？為什么？ 思考題 2解答 由 )()( xgxf ? 或 )()( xgxf 在 ],[ ba 上可積，不能斷言 )(),( xgxf 在 ],[ ba 上都可積。 2) 以直代曲 ： (常代變 ) 在第 i 個(gè)窄曲邊梯形上任取 作以 ],[ 1 ii xx ? 為底 , )( if ?為高的小矩形 , 并以此小 梯形面積近似代替相應(yīng) 窄曲邊梯形面積 得 )()( 1??????? iiiiii xxxxfA ?i?3) 求和 (近似和 )： . ????niiAA1????niii xf1)(?4) 取極限 . 令 則曲邊梯形面積 ?????niiAA10l i m??????niii xf10)(l i m ?? ayo 1x ix1?ixi?ix 1?ix1x i?2x元素法 1 分割 (化整為零 ) 2 以直代曲 (以常代變 ) iii xfS ??? )(?3 求和 (積零為整 ) y x o y=f (x) 1?nx????niii xfS1)(?a b . . 分法越細(xì)，越接近精確值 ◇ 曲邊梯形的面積 f (?i) . ix 1?ixi?元素法 4 取極限 y x o y=f (x) 令分法無限變細(xì) . a b . . . 分法越細(xì)，越接近精確值 1 分割 (化整為零 ) 2 以直代曲 (以常代變 ) 3 求和 (積零為整 ) ????niii xfS1)(?iii xfS ??? )(?◇ 曲邊梯形的面積 . f (?i) ix 1?ixi?元素法 4 取極限 y x o
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