一定積分的概念二定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)三定積分的計(jì)算四定積(參考版)
2025-07-20 23:32本頁(yè)面
【正文】 如果上述極限不存在 , 就稱暇積分 發(fā)散 . 類似地 , 若 ,),[)( baCxf ?而在 b 的左鄰域內(nèi)無(wú)界 , 若極限 數(shù) f (x) 在 （ a , b] 上的暇積分 , 記作 則定義 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則稱此極限為函 而在點(diǎn) c 的 無(wú)界點(diǎn)常稱 鄰域內(nèi)無(wú)界 , xxfca d)(? xxfbc d)(??為 瑕點(diǎn) . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則定義 ??11 2dx x? 211 ????? 111 ????????? x下述解法是否正確 : , ∴ 積分收斂 例 3. 計(jì)算暇積分 ?????? ? 0a r c s in at??? atlim解 : 顯然瑕點(diǎn)為 a , 所以 原式 ??? atlim ??? atlim 2??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 4. 討論暇積分 的收斂性 . 解 : ???01 2dxx?? 10 2dxx101lim???????????txt tt x101lim????????????所以暇積分 發(fā)散 . ? ?t dxxa0 22 1 0a rc s intax ??????、 ? 函數(shù) 1. 定義 )0(d)( 0 1 ??? ? ?? ?? sxexs xs2. 性質(zhì) (1) 遞推公式 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 證 : ? ?? ???? 0 d)1( xexs xs)0()()1( ????? ssss(分部積分 ) ??? ???0 dxs ex? ? ? ?? ??? ??? ?? 0 1 d0 xexsex xsxs)(ss??注意到 : ? ?? ??? 0 d)1( xe x1?有,N ???? n)()1( nnn ???? )1()1( ???? nn)1(!??? n?(2) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 得令 ,2ux ?)0(d2)( 0 122 ??? ? ?? ?? suues su習(xí)題課 一、與定積分概念有關(guān)的問題的解法 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二、有關(guān)定積分計(jì)算和證明的方法 定積分及其相關(guān)問題 第 五 章 例 1 求 解 : xxxI d)c o s(s in20 2? ???xxx dc o ss in20? ???xxx d)s in(c o s40? ???xxx d)c o s(s i n24? ?? ??]c o s[ s i n xx ?? 04?]s i nc o s[ xx ???42??)12(2 ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2?yo x4?xsinxcos例 2： 若 解 : 令 試證 : xxf d)(si n2 0?? ??,xt ?? ? 則 ttft d)(s in)(0? ??? ? ?ttf d)(s i n0?? ?? ttft d)(s i n0?? ?xxf d)(si n2 0?? ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 因?yàn)? xxf d)(s in20???對(duì)右端第二個(gè)積分令 xt ?? ?xxf d)(s in2 20???綜上所述 xxf d)(si n2 0?? ??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 。 如果上述極限不存在 , 就稱廣義積分 發(fā)散 . 類似地 , 若 ,],()( bCxf ???則定義 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),[ ??a,),()( ????? Cxf若 則定義 xxfcaad)(l i m ????xxfbcbd)(lim ?????( c 為任意取定的常數(shù) ) 只要有一個(gè)極限不存在 , 就稱 發(fā)散 . ,??? 并非不定型 , 說明 : 上述定義中若出現(xiàn) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 它表明該廣義積分發(fā)散 . 引入記號(hào) 。 ( 2 ) 具體怎樣求微元呢 ? 這是問題的關(guān)鍵，這 要 分析問題的 實(shí)際 意義 及數(shù)量關(guān)系，一般按 著 在局部 ? ?xxx d, ? 上，以 “ 常代變 ” 、 “ 勻代不勻 ” 、 “ 直代曲 ” 的思路（局部線性 化 ）， 寫 出 局 部 上 所 求 量 的 近 似 值 ， 即 為 微 元 xxfF d)(d ? . 例 1. 計(jì)算兩條拋物線 在第一象限所圍 所圍圖形的面積 . xxy ?2oy2xy ?x xx d?解 : 由 得交點(diǎn) )1,1(,)0,0( )1,1(1? ? xxxA dd 2??31???? 10A 1 直角坐標(biāo)系中平面圖形的面積 xxy 22 ?oy4?? xy例 2. 計(jì)算拋物線 xy 22 ? 與直線 的面積 . 解 : 由 得交點(diǎn) )4,8(,)2,2( ?)4,8(yyyA d)4(d 221???18?4?? xy 所圍圖形 )2,2( ?為簡(jiǎn)便計(jì)算 , 選取 y 作積分變量 , 則有 y yy d????? 4 2A機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 abxoyx例 3. 求橢圓 解 : 利用對(duì)稱性 , xyA dd ?所圍圖形的面積 . 有 ?? a xyA 0 d4利用橢圓的參數(shù)方程 )20(s i nc o s ?????? ?? ttby tax應(yīng)用定積分換元法得 ?? 20 2 ds i n4 ? ttbaba4? 21? 2?? ba?? 當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xx d?首 頁(yè) 下 頁(yè) 尾 頁(yè) 上 頁(yè) 設(shè)由曲線 )( ???r 及射線?? ? 、 ?? ? 圍成一 曲邊扇形 ，求其面積．這里， )(?? 在 ],[ ?? 上連續(xù)，且 0)( ??? ． xo?? ??d?? ? ??? d?曲邊扇形面積元素 ??? ddA 2)]([21?曲邊扇形的面積公式 .)]([21 2 ????? dA ??3. 極坐標(biāo)方程的情形 )(???r首 頁(yè) 下 頁(yè) 尾 頁(yè) 上 頁(yè) 例 3 求雙紐線 ?? 2c o s22 a? 所圍平面圖形的面積 . 解 由對(duì)
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