定積分的概念與可積條(參考版)
2025-05-02 05:58本頁面
【正文】 ）。 思考題： 閉區(qū)間上僅有一個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)是否必可積 ？ 閉區(qū)間上有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)是否必不可積 ？ 閉區(qū)間上的單調(diào)函數(shù) 是否 必可積 ？ 例 2 上可積?？煞e性來說，簡單得多極限來判定有界函數(shù)的是否存在無關(guān)，這相對于用討論而與復(fù)雜的，與上的可積性，只依賴于函數(shù)在由定理可知，討論有界],[],[4],[],[3],[],[239。可以證明下面三種類型根據(jù)可積的準(zhǔn)則，我們可積函數(shù)類三、較方便。在有界函數(shù)，則上只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的是區(qū)間若定理證略上必可積。)(l i m)()()(],[101bafbafbafbafbafbafxfxfTsTSbainiiTinii?? ???????證略上必可積。證明有界函數(shù)的可積性常用定理了。在上連續(xù)，則在若定理的函數(shù)必是可積的。在上的單調(diào)函數(shù)，則是區(qū)間若定理證上必可積。（有關(guān)上、下和性質(zhì)的詳細(xì)討論參見課本 — ）11 ( [ , ] 0( ) ., ( ), 39。 Ti? 方案 : 定義上和 和下和 ，研究它們的性質(zhì)和當(dāng) 時(shí)有相同極限的充要條件 . 2. 達(dá)布和 : ? ?1 , 2 , , [ , ] [ , ]s u p ( ) , in f ( ) , 1 , 2 , , .iiiiii xxT i n a b f a bM f x m f x i n????? ? ??? ? ?設(shè) 為對 的任一分割，由 在 上有界，它在每一個(gè) 上存在上、下確界：)(TS )(Ts11( ) , ( )nniiiiS T M s T mfT??????作和分別稱為 關(guān)于分割 的上和與下和（或稱為達(dá)布上和與達(dá)布下和，統(tǒng)稱為達(dá)布和）由達(dá)布 和 定義可知，達(dá)布 和未必是積分和 .但 達(dá)布 和由分法 唯一確定 . 則顯然有： 1( ) ( ) ( ) ( 1 )0 [ , ]2 3 1 2 3 6niiis T f x S TT f a bP??? ? ???由此可見，只要通過上、下和當(dāng) 時(shí)的極限就揭示 在 上是否可積了。有界函數(shù)卻不一定可積注意，數(shù)一定是有界的，但要定理指出，任何可積函證上一定有界?？煞e的必要條件，但不由此可見，有界是函數(shù)上有界，但不可積。 一、可積的必要條件 界的。2 、???????2022co s2co s xd xxd x 。2 。 本章內(nèi)容、要求及重點(diǎn) 第一節(jié) 定積分的概念和可積 條件 ● 一、 問題的提出 ● 二、 定積分的定義 ● 三、 存在定理 ● 四、 幾何意義 ● 五、 小結(jié) a b x y o ??A曲邊梯形由連續(xù)曲線實(shí)例 1 （求曲邊梯形的面積） )( xfy ? )0)(( ?xf 、x 軸與兩條直線 ax ? 、bx ? 所圍成 .一、問題的提出 )( xfy ?a b x y o a b x y o 用矩形面積近似取代曲邊梯形面積 顯然，小矩形越多，矩形總面積越接近曲邊梯形面積． （四個(gè)小矩形） （九個(gè)小矩形） 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 播放
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