一定積分的概念二定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)三定積分的計(jì)算四定積-文庫(kù)吧資料
2025-07-23 23:32本頁(yè)面
【正文】 稱性知，總面積 =第一象限部分面積的 4倍。,2,1(Δ)( nixf ii ??? 第三步：寫(xiě)出整體量 F 的近似值， ???niiFF1Δ ≈ inii xf Δ)(1??? ； 第四步：取 0}Δm a x { ?? ix? 時(shí)的 iniixf Δ)(1??? 極限，則得 ? ?????nibaiixxfxfF10d)(Δ)(l im ??. 定積分的應(yīng)用 而第三、第四兩步可以合并成一步：在區(qū)間 ? ?ba , 上無(wú)限累加，即在 ? ?ba , 上積分 . 至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，這是 F 能用定積分計(jì)算的前提，于是，上述四步簡(jiǎn)化 后形成實(shí)用的微元法 . 定積分應(yīng)用的微元法 ： ( 一 ) 在區(qū)間 ? ?ba , 上任取一個(gè)微小區(qū)間 ? ?xxx d, ? ，然后寫(xiě)出在這個(gè)小區(qū)間上的部分量 FΔ 的近似值，記為 xxfF d)(d ? ( 稱為 F的微元 ) 。 解 方程 x2－ 2x－ 3 = 0有兩個(gè)實(shí)根 － 1和 3 ，根據(jù)一元二次不等式的判別，函數(shù) x2－ 2x－ 3 = 0在 [2, 3]上分為兩部分，在 [2, 1]取正值，在[1, 3]上取負(fù)值，所以 dxxxdxxxdxxx ??? ???? ???????? 2 1 212 23 2 2 )32()32(32 4 計(jì)算 dxxx?? ??322 32于是 ??????????????????31)32(123232222xxxxxxxx13)33()33(21231223??????????xxxxxx 5 設(shè) 求 ,1,211,1)( 2????????? xxxxxf .)(20? dxxf解 ??? ?? 211020 )()()( dxxfdxxfdxxf?? ??? 21 210 21)1( dxxdxx386)1(21 213102 ???? xx用定積分概念解決實(shí)際問(wèn)題的四個(gè)步驟： 第一步：將所求量 F 分為部分量之和，即 : ??? niiFF1Δ 。 dxxdxedxxfdxxfdxxf x ????? ???? ?? 20 20 1200 121 )()()( 3 計(jì)算 其中 ,)(21 dxxf???????????2001)(2 xxxexf xexe x 1311320201 ???? ? 注意 在積分 中，相當(dāng)于定義 f (0) = 1，而題 dxedxxf x???? ?0101 )(中 f (0) = 0 ，這并不會(huì)改變定積分的值。1?t機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 且 例 3. 證 : (1) 若 ??? ? aaa xxfxxf 0 d)(2d)(則??? xxfaa d)((2) 若 0d)( ???aa xxf則xxfa d)(0?? xxfa d)(0??ttfa d)(0? ?? xxfa d)(0??xxfxfa d])()([0? ???時(shí))()( xfxf ??時(shí))()( xfxf ???偶倍奇零 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 tx ??令?定理 3 （定積分的分部積分公式） 設(shè)函數(shù) u (x) , v (x) 在 [ a , b ]上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則 ?? ???? bababa dxxuxvxvxudxxvxu )()()()()()(例 4. 計(jì)算 解 : 原式 = xx a rc s in021?? 210 xxx d1 2?12?? )1(d)1(21 202 2 121 xx ??? ??12?? 21)1( 2x??02112??23? 1?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1. 設(shè) 求 解 : (分部積分 ) 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解： 2. 右端 ,],[)( 上有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)在設(shè) baxf ?)( af且試證 ? ???? ba xfbxax )(d))((21? ?abxfbxax )())((21 ????xbaxxfba d)2)((21 ? ????分部積分積分 再次分部積分 xxfba d)(??? ?abxfbax )()2(21 ????= 左端 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,0)( ?bf 解 f (x)在區(qū)間 [1, 2]上不連續(xù)。 ?? ? baba dxxfkdxxkf )()(??? ??? bababa dxxgdxxfdxxgxf )()()]()([ 定積分的簡(jiǎn)單性質(zhì) 性質(zhì) 3 若在區(qū)間 [ a , b ]上 f (x)≡K，則 性質(zhì) 4 定積分的區(qū)間可加性 若 c 是 [ a , b ] 內(nèi)的任一點(diǎn)，則 )()( abKdxkk d xdxxf bababa???? ?????? ?? bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(abdxdxdxxf bababa???? ??? 1)(a bca b c當(dāng) a , b , c 的相對(duì)位置任意時(shí) , 例如 ,cba ??則有 ?? ca xxf d)( ? ba xxf d)( ?? cb xxf d)(?? ca xxf d)(?? ba xxf d)( ?? cb xxf d)(?? ca xxf d)( ?? bc xxf d)(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 性質(zhì) 5 如果在區(qū)間 [ a , b ]上 ， f (x)≤ g (x)，則 性質(zhì) 6 設(shè)在區(qū)間 [ a , b ]上 （ ab），函數(shù) f (x) 的最大值 和最小值分別是 M 和 m，則 )()()( badxxgdxxfbaba?? ??)()()( abMdxxfabmba???? ?性質(zhì) 7 積分中值定理 定理：設(shè)函數(shù) f (x)在閉區(qū)間 [ a ,
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