一定積分的概念二定積分的簡單性質(zhì)三定積分的計算四定積-展示頁
2025-07-26 23:32本頁面
【正文】 b ]上連續(xù)， 則在 [ a , b ]上至少存在一點 使 或可寫作 ?))(()( abfdxxfba??? ?)()()( 1 ?fdxxfab ba?? ?)(?f 稱為函數(shù) f (x) 在 [ a , b ]上的平均值 ??? ba dxxfaby )()( 1中值定理的幾何意義：曲邊 )( xfy ? 在 ? ?ba , 底上所圍成的曲邊梯形面積，等于同一底邊而高為 )( ?f 的一個矩形面積，如下圖所示 . O a b x y ? ) ( ? f ) ( x f y ? 從幾何角度容易看出，數(shù)值1( ) dbay f x xba??? 表示連續(xù)曲線 )( xfy ? 在 ? ?ba , 上的平均高度，也就是函數(shù) )( xf 在? ?ba , 上的平均值，這是有限個數(shù)的平均值概念的拓廣 . 一、引例 在變速直線運動中 , 已知位置函數(shù) 與速度函數(shù) 之間有關(guān)系 : )()( tvts ??物體在時間間隔 內(nèi)經(jīng)過的路程為 )()(d)( 1221TsTsttvTT ???這種積分與原函數(shù)的關(guān)系在一定條件下具有普遍性 . 定積分的計算 )( xfy ?xbaoy)(x?xhx??則積分上限函數(shù) ??? xa ttfx d)()(證 : ,],[, bahxx ??? 則有 hxhx )()( ???? ?h1? ??? ?? xahxa ttfttf d)(d)(? ?? hxx ttfh d)(1 )(?f? )( hxx ??? ?hxhxh)()(l i m0?????? )(lim 0 ?fh ?? )(xf?)( x???機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理 1. 若 牛頓 – 萊布尼茲公式 )()(d)( aFbFxxfba ??? ( 牛頓 萊布尼茲公式 ) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證 : 根據(jù)定理 1, 故 CttfxF xa ?? ? d)()(因此 )()(d)( aFxFttfxa ???得 記作 定理 2. 函數(shù) , 則 例 1. 計算 解 : xxx a rc t a n1 d31 2 ??? ? 13? )1a r c ta n (3a r c ta n ???3?? ?127?例 2. 計算正弦曲線 的面積 . 解 : ?? ?0 dsin xxAxcos?? 0? 1[??? ]1? 2?)4( ???機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yo xxy sin??二、定積分的分部積分法 不定積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、定積分的換元法 換元積分法 分部積分法 定積分 換元積分法 分部積分法 定積分的換元法和 分部積分法 第 五 章 定理 2 （定積分的換元公式） 設(shè)函數(shù) f (x)在區(qū)間 [ a , b ]上連續(xù)；函數(shù) 在 上單值且有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；當 時，有 ，且 則 )(tx ??],[ ?? ?? ?? t],[)( bat ?? ba ?? )(,)( ????( ) [ ( ) ] ( )baf x d x f t t d t???? ????例 1. 計算 解 : 令 ,s in tax ? 則 ,dc o sd ttax ?。? 一 定積分的概念 ? 二 定積分的簡單性質(zhì) ? 三 定積分的計算 ? 四 定積分的應(yīng)用 ? 五 廣義積分和 Γ函數(shù) 第五章 定積分及其應(yīng)用 背景來源 —— 面積的計算 ！矩形的面積 定義為兩直角邊長度的乘積 ？ 一般圖形的面積是什么 我們可以用大大小小的矩形將圖形不斷填充，但閃爍部分永遠不可能恰好為矩形，這些 “ 邊角余料 ” 無外乎是右圖所示的“ 典型圖形 ” （必要時可旋轉(zhuǎn)） “典型圖形 ” 面積的計算問題就產(chǎn)生了 定積分 1. 曲邊梯形的面積 設(shè)曲邊梯形是由連續(xù)曲線 以及兩直線 所圍成 , 求其面積 A . ??A)( xfy ?矩形面積 梯形面積 定積分的概念 1x ix1?ixayo解決步驟 : 1) 分割 . 在區(qū)間 [a , b] 中 任意 插入 n –1 個分點 bxxxxxa nn ??????? ? 1210 ?],[ 1 iii xx ???用直線 ixx ? 將曲邊梯形分成 n 個小曲邊梯形 。 2) 近似 . 在第 i 個窄曲邊梯形上 任取 作以 ],[ 1 ii xx ? 為底 , )( if ?為高的小矩形 , 并以此小 梯形面積近似代替相應(yīng) 窄曲邊梯形面積 得 )()( 1??????? iiiiii xxxxfA ?i?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3) 求和 . ????niiAA1????niii xf1)(?4) 取極限 . 令 則曲邊梯形面積 ?????niiAA10l i m??????niii xf10)(lim ??機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ayo 1x ix1?ixi?│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 分割 將 [a， b]分割為 n個小區(qū)間 取介點 在每個小區(qū)間上任取一點 ξ i i?)( if ?局部以直代曲 每個小區(qū)間上的曲線 y=f(x)用直線段 y=f(ξ i)代替 )(xfy ?0xa? 1x 2x 1?ix ix 1?nx bxn?作和： S?= 11)( xf ?? 22 )( xf ?? ? ?? ???? ii xf )(? nn xf ?? )(?)( )( 11 ??????? ? iiini iixxxxf ?y x 分割 將 [a， b]分割為 n個小區(qū)間 取介點 在每個小區(qū)間上任取一點 ξ i 局部以直代曲 每個小區(qū)間上的曲線 y=f(x)用直線段 y=f(ξ i)代替 )(xfy ?作和： S?= 11)( xf ?? 22 )( xf ?? ? ?? ???? ii xf )(? nn xf ?? )(?)
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