經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分定積分的概念-展示頁
2024-09-11 12:42本頁面
【正文】 ???)(1? ini ix?? ?? 11? )1(1 111 ?????? qqqinii????niq1)1( )1( ?? qn 取 2?nq 即 nq 12?),12( 1 ?? nn)12(l i m 1 ???? xxx?xxx 112lim1????? ,2ln?)12(lim1????nnn ,2ln?211dxx? ini ix?? ??? 101lim?? )12(lim1????nnn .2ln?iinixf ???)(1?例 3 設(shè)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ]1,0[ 上連續(xù)，且取正值 .證明 nn nnfnfnf ?????????????????????L21l i m?????? ??????????????????????nn nnfnfnfe L21limlnnn nnfnfnf ?????????????????????L21lim試證 10 l n ( ) d .f x xe ??利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)得 ???????? ??? nifnnine 1ln1l i m nnifnine1lnl i m1????????? ??? 指數(shù)上可理解為： )(ln xf 在 ]1,0[ 區(qū)間上的一個(gè)積分和． 分割是將 ]1,0[ n 等分分點(diǎn)為 nix i ? ， （ ni ,2,1 L? ）?????? ??????????????????????nn nnfnfnfe L21lnl i m極限運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算換序得 nnifnin1lnl i m1???????????10 l n ( ) df x x? ?故 nn nnfnfnf ?????????????????????L21l i m10 l n ( ) d .f x xe ??因?yàn)?)( xf 在區(qū)間 ]1,0[ 上連續(xù)，且 0)( ?xf所以 )(ln xf 在 ]1,0[ 上有意義且可積 ,五、小結(jié) １．定積分的實(shí)質(zhì) ：特殊和式的極限． ２．定積分的思想和方法： 分割 化整為零 求和 積零為整 取極限 精確值 —— 定積分 求近似以直（不變）代曲（變） 取極限 思考題 將和式極限： ?????? ????????? nnnnnn)1(s in2s ins in1lim L表示成定積分 . 思考題解答 原式 ?????? ???????????? nnnnnnnn s in)1(s in2s ins in1lim L?? ????nin nin 1 s i n1limnninin???????? ??? ???? 1 s i nlim101 si n d .xx??? ?ix?i?一、 填空題： 1. 函數(shù))( xf 在? ?ba ,上的定積分是積分和的極限，即( ) dbaf x x ??____ ___________ __ . 2. 定積分的值只與 ____ __ 及 _______ 有關(guān)，而與_____ ____ 的記法無關(guān) . 3. 定積分的幾何意義是 _______ ___________ _____ . 4. 區(qū)間? ?ba ,長 度 的 定 積 分 表 示 是_____ ________ . 二、 利用定積分的定義計(jì)算由拋物線 ,12 ?? xy 兩直線 )(, abbxax ??? 及橫軸所圍成的圖形的面積 . 三、 利用定積分的定義計(jì)算積分 dbaxx? ， )( ba . 練 習(xí) 題 四、 利用定積分的幾何意義，說明下列等式： 1 ．1201d4xx???? 。一、問題的提出 二、定積分的定義 三、存在定理 四、幾何意義 五、小結(jié) 思考題 第一節(jié) 定積分的概念 a b x y o ??A曲邊梯形由連續(xù)曲線實(shí)例 1 （求曲邊梯形的面積） )( xfy ? )0)(( ?xf 、x 軸與兩條直線 ax ? 、bx ? 所圍成 .一、問題的提出 )( xfy ?a b x y o a b x y o 用矩形面積近似取代曲邊梯形面積 顯然，小矩形越多，矩形面積和越接近曲邊梯形面積． （四個(gè)小矩形） （九個(gè)小矩形） 觀察下列演示過程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 播放 曲邊梯形如圖所示， a b xyo i?ix1x 1?ix 1?nx。],[],[11????? iiiiixxxxxnba長度為，個(gè)小區(qū)間分成把區(qū)間，上任取一點(diǎn)在每個(gè)小區(qū)間iii xx?],[ 1?iii xfA ?? )(?為高的小矩形面積為為底，以 )(],[ 1 iii fxx ??b, x x x x x a b] [a, n 1 n 2 1 0 ? ? ? L 個(gè)分點(diǎn)， 內(nèi)插入若干 在區(qū) 間 inii xfA ?? ??)(1?曲邊梯形面積的近似值為 inii xfA ?? ???)(l i m10??時(shí)，趨近于零即小區(qū)間的最大長度當(dāng)分割無限加細(xì))0(},m ax {,21??????? nxxx L曲邊梯形面積為 實(shí)例 2 （收益問題） 設(shè)某商品的價(jià)格 P 是銷售量 x 的函數(shù))( xPP ? 。 2 ．2202c os d 2 c os dx x x x??????? 。 ? 也可以引入虛變量，建立一個(gè)統(tǒng)一的模型（ Gujarati方法）
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