經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分多元函數(shù)的基本概念-展示頁(yè)
2024-09-11 12:43本頁(yè)面
【正文】 yx???????222 42yxyx?所求定義域?yàn)? }.,42|),{( 222 yxyxyxD ?????二元函數(shù) 的圖形 ),( yxfz ? 設(shè)函數(shù) ),( yxfz ? 的定義域?yàn)?D ，對(duì)于任意取定的 DyxP ?),( ，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為),( yxfz ? ，這樣，以 x 為橫坐標(biāo)、 y 為縱坐標(biāo)、 z 為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn) ),( zyxM ，當(dāng) x 取遍 D 上一切點(diǎn)時(shí)，得一個(gè)空間點(diǎn)集}),(),(|),{( Dyxyxfzzyx ?? ，這個(gè)點(diǎn)集稱(chēng)為二元函數(shù)的圖形 .（如下頁(yè)圖） 二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面 . xyzoxyz sin?例如 , 圖形如右圖 . 2222 azyx ???例如 , 如右圖，為球面 . }.),{( 222 ayxyxD ???222 yxaz ???.222 yxaz ????單值分支 : 約定 ,凡用算式表達(dá)的多元函數(shù) ,除另有說(shuō)明外 ,其定義域是指的自然定義域． 與一元函數(shù)類(lèi)似，當(dāng)我們用某個(gè)算式表達(dá)多元函數(shù)時(shí)，凡是使算式有意義的自變量所組成的點(diǎn)集稱(chēng)為這個(gè)多元函數(shù)的自然定義域． 一元函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)的定義在多元函數(shù)中不再適用，但有界性的定義仍然適用 . 定義設(shè)函數(shù) ),( yxfz ? 的定義域?yàn)?,(,000yxPD 是其內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ? ，總存在正數(shù) ? ，使得對(duì)于適合不等式 ??????? 20200)()(||0 yyxxPP 的一切點(diǎn)，都有 ??? |),(| Ayxf 成立，則稱(chēng) A 為函數(shù) ),( yxfz ? 當(dāng)0xx ? ，0yy ? 時(shí)的極限， 記為 Ayxfyyxx???),(l i m00 （或 )0(),( ?? ?Ayxf 這里 ||0PP?? ） . 三、多元函數(shù)的極限 說(shuō)明： （ 1）定義中 的方式是任意的，即 0PP ?（ 2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限 )。,41,2020202020202020202020022??????????????????yxyxyxEEEEPyxyxEEPyxRyxPyxyxE或的邊界的聚點(diǎn)也是的邊界點(diǎn)為則點(diǎn)或若的聚點(diǎn)也是的內(nèi)點(diǎn)為則點(diǎn)若點(diǎn)設(shè)點(diǎn)集舉 例 ? ? ? ?.,00的聚點(diǎn)為則稱(chēng)，也可不屬于本身可屬于中的點(diǎn)總有的去心鄰域，如果對(duì)于任意給定的EPEEPEPUP?? ?(point of accumulation) (opener)與閉集 (closed set) EP?}41),{( 221 ???? yxyxE例如 即為開(kāi)集； 。三、多元函數(shù)的極限 二、多元函數(shù)的概念 四、多元函數(shù)的連續(xù)性 五、小結(jié) 思考題 第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 一、區(qū)域 設(shè) ),(000 yxP是 x oy 平面上的一個(gè)點(diǎn)， ? 是某一正數(shù)，與點(diǎn) ),(000 yxP距離小于 ? 的點(diǎn) ),( yxP的全體，稱(chēng)為點(diǎn) 0P的 ? 鄰域，記為 ),(0 ?PU， (neighborhood) 0P?),( 0 ?PU ? ???? || 0PPP? ? .)()(|),( 2020 ?????? yyxxyx一、區(qū)域 ?(region) (inner point)、邊界點(diǎn)和聚點(diǎn) .)(的內(nèi)點(diǎn)為則稱(chēng)，的某一鄰域一個(gè)點(diǎn)．如果存在點(diǎn)是平面上的是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，設(shè)EPEPUPPE?的邊界點(diǎn)．為則稱(chēng)）屬于，也可以不本身可以屬于（點(diǎn)的點(diǎn)也有不屬于的點(diǎn)于的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬如果點(diǎn)EPEEPEEP,EPP??． 的邊界 的邊界點(diǎn)的全體稱(chēng)為 ) ( boundary E E ? ?? ? ? ?? ?? ? .41,.3。,。2 中的開(kāi)集是則稱(chēng)的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，如果點(diǎn)集REE.22中的閉集是則稱(chēng)中的開(kāi)集，是的余集如果REREE c}41),{( 222 ???? yxyxE即為閉集； }41),{( 223 ???? yxyxE即非開(kāi)集 也非閉集 . ,2RE ?設(shè)集合 (bounded set)與無(wú)界集 ? ?.,0,2222中的有界集是則稱(chēng)都有使得對(duì)所有的如果存在常數(shù)設(shè)集合REkyxOPEyxPkRE??????一個(gè)集合如果不是有界集，就稱(chēng)為無(wú)界集 . 、閉區(qū)域 是連通的．開(kāi)集，則稱(chēng)且該折線(xiàn)上的點(diǎn)都屬于連結(jié)起來(lái)，任何兩點(diǎn)，都可用折線(xiàn)內(nèi)是開(kāi)集．如果對(duì)于設(shè)DDDD? ?連通的開(kāi)集稱(chēng)為區(qū)域 (region)或開(kāi)區(qū)域． }.41|),{( 22 ??? yxyx例如， xyo開(kāi)區(qū)域連同它的邊界一起稱(chēng)為閉區(qū)域 .}.41|),{( 22 ??? yxyx例如， xyo注： n維空間中鄰域、區(qū)域等概念 ? ?nRPPPPPU ??? ,||),( 00 ??內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域等概念也可定義． 鄰域： 二、多元函數(shù)的概念 (functions of several variables) ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ? 。,(l i m00yxfyyxx??（ 3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類(lèi)似． 000 ??? PPPP例 2 求證 證 01s i n)(lim 222200????? yxyxyx01s i n)( 2222 ??? yxyx2222 1s i nyxyx ???? 22 yx ??,0?? ? ,?? ??當(dāng) 時(shí)， ?????? 22 )0()0(0 yx????? 01s i n)( 2222 yxyx 原結(jié)論成立． 例 3 求極限 .)s i n (lim
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