經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)微積分二重積分的概念與性質(zhì)-展示頁(yè)
2024-09-11 12:46本頁(yè)面
【正文】 ylindrical body)體積 =底面積 高 特點(diǎn) ：平頂 . 曲頂柱體體積 =？ 特點(diǎn) ：曲頂 (curved vertex surface). ),( yxfz ?D１．曲頂柱體的體積 (volume) 一、問題的提出 求曲頂柱體的體積采用 “ 分割、近似、 求和、取極限 ”的方法，先看動(dòng)畫演示 . 剛才大家看到是曲頂 柱體的底面網(wǎng)格劃分比較稀 的情況，下面請(qǐng)大家繼續(xù)觀看網(wǎng)格劃分較密時(shí)的 情況 . 曲頂柱體體積的計(jì)算步驟是： 用若干個(gè)小平頂柱 體體積之和近似表 示曲頂柱體的體積 . xzyoD),( yxfz ?i??? ),( ii ??.),(lim10iiniifV ???? ?? ???曲頂柱體的體積 先分割曲頂柱體的底，并取典型小區(qū)域 ，求對(duì)應(yīng)小曲頂柱體體積的近似值 . i?? 設(shè)有一平面薄片，占有 x O y 面上的閉區(qū)域D ，在點(diǎn) ),( yx 處的面密度為 ),( yx? ，假定),( yx? 在 D 上連續(xù)，平面薄片的質(zhì)量為多少？ ２．求平面薄片的質(zhì)量 i??? ),( ii ??將薄片分割成若干小塊， 取典型小塊，將其近似 看作均勻薄片，求質(zhì)量 . 所有小塊質(zhì)量之和 近似等于薄片總質(zhì)量 .),(lim10iiniiM ????? ?? ???xyO定義 設(shè) ),( yxf 是有界閉區(qū)域 D 上的有界函數(shù)，將閉區(qū)域 D 任意分成 n 個(gè)小閉區(qū)域1?? ，?,2?? ，n?? ，其中i?? 表示第 i 個(gè)小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個(gè)i?? 上任取一點(diǎn) ),(ii?? ， 作乘積 ),(iif ??i?? ， ),2,1( ni ?? ， 并作和 iiniif ??? ???),(1, 二、二重積分的概念 積分區(qū)域 如果當(dāng)各小閉區(qū)域 的直徑中的最大值 ? 趨近于零時(shí)，這和式的極限存在，則稱此極限為函數(shù) ),( yxf在閉區(qū)域 D 上的 二重積分 (d o ub l e int eg ra l ) ， 記為??Dyxf ?d),( ， 即 ( , ) dDf x y ???iiniif ?????? ???),(lim10. 積分和 被積函數(shù) 積分變量 被積表達(dá)式 面積元素 (1 ) 在二重積分的定義中，對(duì)閉區(qū)域的劃分是任意的 .( 2 ) 當(dāng) ),( yxf 在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí)，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在 . 對(duì)二重積分定義的說(shuō)明： 二重積分的幾何意義 : 當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積． 當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值． 在直角坐標(biāo)系下用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來(lái)劃分區(qū)域 D， ( , ) d ( , ) d dDDf x y f x y x y? ??? ??d d dxy? ?故二重積分可寫為 xyOD 則 面積元素 (areal element)為 性質(zhì)１ [ ( , ) ( , ) ] dDf x y g x y? ? ????( , ) d ( , ) d .DDf x y g x y? ? ? ????? ??（二重積分與定積分有類似的性質(zhì)） 三、二重積分的性質(zhì) 設(shè) 、 為常數(shù) ，則 ??性質(zhì) 2 對(duì)積分區(qū)域具有可加性 12( , ) d ( , ) d ( , ) d .D D Df
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1