二重積分的計算ppt課件-展示頁
2025-03-02 16:16本頁面
【正文】 )b b b ba a a af x g x dx dy f y g x dx dy??? ? ? ?[ ( ) ( ) ] ( )bbaa f x f y g x dx dy????則 證 ： 練習(xí)題 3 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 17 [ ( ) ( ) ] ( )同 理 bbaaC f y f x g y dx dy????2 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]bbaaC f x f y g x g y dx dy? ? ? ??? ( ) , ( ) [ , ] ,f x g x a b而 均 為 上 的 嚴(yán) 格 單 增 的 連 續(xù) 函 數(shù) 則[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] 0f x f y g x g y? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b ba a ab a f x g x dx f x dx g x dx??? ? ?故0C ?即機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 18 x y O y=x 2 ?1 2 2yx???2 x y 2D1D1 o 2yx?? 1 2 2D:D由 題 知 積 分 區(qū) 域 滿 足2212 yyDd d y d x?????? ? ?則2 2 12y x yy? ? ? ?? ? ? ??? ?2 , ( , ) 1 , 0 2 .Dy x d x d y D x y x y? ? ? ? ???計 算 其 中22222,y x y xyxx y y x? ????? ?????因 為例 8. 解 : 如圖 解 : 如圖 2 2 .y x y x? ? ?求 由 曲 線 與 所 圍 成 平 面 圖 形 的 面 積例 7. 2 21 ( 2 )y y d y?? ? ??92?機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 2 32 2 2D D D Dy x d x d y y x d x d y x y d x d y?? ? ? ? ??? ?? ??221 2 1221 1 0xxd x y x d y d x x y d y??? ? ? ?? ? ? ?532???x y 2D1D1 o 2yx?? 1 2 2D機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例 9. 計算 其中 .: 222 ayxD ??解： 由于 的原函數(shù)無法用初等函數(shù)表示， 22xye ??所以無論按先對 y 后對 x 還是先對 x 后對 y 的積分 次序，都無法計算出結(jié)果 , 故須考慮其它方法計算 . 我們注意到，直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系： c oss inxryr?????? ???而且用極坐標(biāo)表示圓域簡單，比如 2 2 2:D x y a?? : ( 0)D r a a? ? ?xyokkk rr ?????二、利用極坐標(biāo)計算二重積分 在極坐標(biāo)系下 , 用同心圓 r = 常數(shù) 則除包含邊界點的小區(qū)域外 , 小區(qū)域的面積 k??),2,1( nkk ??? ?k?? ?kk ??? ???krr?k??kkr ???? 221 kkk rr ?????? 221 )(及射線 ? = 常數(shù) , 分劃區(qū)域 D 為 krkr?k??k??機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (1)“大化小” 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 kkkkkk rr ???? s i n,c o s ??對應(yīng)有 在 k?? ),( kkr ?內(nèi)取點 krkr?k??, kk??（ ）(2)“常代變” ),2,1(),( nkfV kkkk ????? ???(3)“ 近似和” ????nkkkkf1),( ???(4)“ 取極限” ? ?1 2 1 2m a x kP P P , P??? ? ?kkkkkkknkrrrrf ??????? ???)s i n,c o s(lim10?? D yxf ?d),( ?dd rr即 ??? D rrf )s i n,c o s( ???d r rd?dr ?d機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注 :當(dāng)二重積分的積分區(qū)域 D 的 邊界曲線用極坐標(biāo)表示比較方便(如 D 為圓形、環(huán)形、扇形等 )或被積函 數(shù)用極坐標(biāo)變量 r, θ 表示比較簡單 (如被積函數(shù)為 22( ) , ( ) , ( )yxf x y f fxy?極坐標(biāo)系計算二重積分也要化為 等 )時 ,我們通常采用極坐標(biāo)來計算二重積分 .而用 二次積分來計算 . 根據(jù)積分區(qū)域的形狀可分為下列兩種方法計算 二重積分 . (1)極點在 區(qū)域的 邊界之外：即 設(shè) ,)()(: 21??? ?? ?? ??? ???? rD 則 ??Do)(1 ???r)(2 ???r機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ? )( )(21 d)s in,c o s(?? ?? ?? rrrrf?? D rrrrf ??? dd)s i n,c o s(?? ?? ?d???????????20)(0: rD?? D rrrrf ??? dd)s i n,c o s(? )(0 d)s in,c o s(?? ?? rrrrf?? ? ?20 d)(???roD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (2)極點在 區(qū)域的 邊界之內(nèi)：即 ??Do)(1 ???r)(2 ???r若 f ≡1 則可求得 D 的面積 ???? d)(21 20 2????? D ?? d思考 : 下列各圖中區(qū)域 D 分別與 x , y 軸相切于原點 , 答 : 。0)1( ?? ??)(???rDoyx)(???rDoyx試問 ? 的變化范圍是什么 ? (1) (2) 22)2(??? ???機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1??yx122 ?? yx解： 積分區(qū)域如圖 c o ss inxryr????? ??( , )Df x y d x d y?? 20 d? ???例 9. 寫出積分 ( , )Df x y d
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