二重積分的計(jì)算ppt課件-在線瀏覽
2025-04-10 16:16本頁(yè)面
【正文】 x d y??2{ ( , ) | 1 1 , 0 1 }D x y x y x x? ? ? ? ? ? ?的極坐標(biāo)二次積分形式， 其中積分區(qū)域?yàn)? 所以圓的方程為 r = 1 1sin c o sr ??? ?直線的方程為 在極坐標(biāo)下 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 11s i n c o s( c o s , s in )f r r r d r??????例 10. 計(jì)算 其中 .: 222 ayxD ??解 : 在極坐標(biāo)系下 ,200:?????????arD原式 ??? D rera r d02? ?)1( 2ae ??? ?2xe? 的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無(wú)法用直角 ?dd rr ?? ? ?20 d由于 故 坐標(biāo)計(jì)算 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注 : 利用例 10可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程 上非常有用的反常積分公式 2d02 ??? ?? ? xe x事實(shí)上 , 當(dāng) D 為 R2 時(shí) , 利用例 10的結(jié)果 , 得 ??① 故①式成立 . 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例 11. 計(jì)算二重積分 2222si n( )Dxy dx dyxy? ????其中積分區(qū)域?yàn)? 22{( , ) | 1 4 }.D x y x y? ? ? ?解： 積分區(qū)域如圖 . 由對(duì)稱性，可只考慮第一象限部分，即 2222si n( )Dxydx dyxy? ????2 201sin4 rd rd rr? ??? ?? 4??機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 12222sin( )4Dxydx dyxy? ?????2 2 2 2,2Dx y d D x y x?? ? ???計(jì) 算 其 中 是 由 圓2 cosr ??x o 222x y x??2????2???.所 圍 成 的 區(qū) 域解 : 積分區(qū)域 D 如圖所示 , c o s s inxryr????? ??令則 D 的邊界曲線方程為 r = 2cosθ. 0 2 c o s,:22rD?????????? ? ???故 在 極 坐 標(biāo) 系 下22 DDx y d r r d r d??? ? ??? ??則 2 c o s 2202d r d r? ?? ??? ??y 例 12. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 θ D 22 2 1 10 0 2 2 0 ( ) ( )xxyyI d x f d y d x f d yxx???? ? ? ?把 積 分x y o θ 222 2 2 2( , )解 : 在直角坐標(biāo)系下積分區(qū)域 D 如圖所示 , 1 01 :04rD?????????即1400 ( t a n )I d f r d r? ??? ??故顯然區(qū)域 D 為扇形 , 則將其轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式 . 22016 ( 1 s i n ) s i n3 d??????3228 c o s3 d?? ???? ?例 13. .化 為 極 坐 標(biāo) 形 式 的 累 次 積 分1400= ( t a n )f d r d r?????機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 401= ( t an )2 fd????329?例 14. 求球體 被圓柱面 xayx 222 ??所截得的 (含在柱面內(nèi)的 )立體的體積 . 解 : 設(shè) 由對(duì)稱性可知 20,c o s20: ??? ???? arD?dd44 22 rrraV D?? ??? ??co s20 22 d4a rrra)322(332 3 ?? ?aoxyza2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ?ba xxf d)( ))(( tx ??? ?? ?? ?? tttf d)()]([定積分換元法 *三、二重積分換元法 ?????),(),(:vuyyvuxxT DDvu ???),(滿足 上在 Dvuyvux ?),(,),()1( 一階導(dǎo)數(shù)連續(xù) 。0),( ),(),( ???? vu yxvuJ(3) 變換 DDT ??:則 ?? D yxyxf dd),( ?? ?? D vuyvuxf )),(),((定理 : ,),( 上連續(xù)在閉域設(shè) Dyxf 變換 : 是一一對(duì)應(yīng)的 , vuvuJ dd),(o?vuD?oyxDT機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 oyxDo?vuD?證 : 根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換 T 可逆 . 用平行于坐標(biāo)軸的 ,坐標(biāo)面上在 vou ?直線分割區(qū)域 ,D? 任取其中一個(gè)小矩 T形 , 其頂點(diǎn)為 ),(,),( 21 vhuMvuM ???1M?u4M? 3M?2M?hu?vkv?通過(guò)變換 T, 在 xoy 面上得到一個(gè)四邊 形 , 其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為 )4,3,2,1(),( ?iyxM iii 1M4M 3M 2M,22 kh ???令 則 12 xx ? ),(),( vuxvhux ???).,(,),( 43 kvuMkvhuM ?????)(),( ?ohvuux ????機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 14 xx ? ),(),( vuxkvux ??? )(),( ?okvuvx ????12 yy ? )(),( ?ohvuuy ????同理得 14 yy ? )(),( ?okvuvy ????當(dāng) h, k 充分小時(shí) , 曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四 邊形 , 故其面積近似為 4121 MMMM ??? ? 14141212 yyxx yyxx ?? ???? khkhvyvxuyux????????hkvyuyvxux????????? hkvuJ ),(?機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 vuvuJ dd),(d ??因此面積元素
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