[理學(xué)]第二節(jié)二重積分的計(jì)算-在線(xiàn)瀏覽
2025-01-25 01:13本頁(yè)面
【正文】 ???????212: 2yyxyD?? ??? 221 2 dd yy xyxy??? D yx ?d?????????? 2122 d212yyxyy? ? ??? 2 1 52 d])2([21 yyyyDxy ?22?? xy21?4oyx及直線(xiàn) 則 D例 3 解 圍成．由其中計(jì)算 2,1,.22????? xxyxyDdyxD?X型 ???? ? xxDdyyxdxdyx 1 222122?? ??21 12)( dxyxxx? ?? 21 3 )( dxxx.49?.21,1: ???? xxyxD例 4 .,s i n所圍由其中計(jì)算二重積分xyxyDdyyID??? ?? ?o xy1xy ?解 )( 積分次序計(jì)算后按先 xy??? xx dyy ydxI s i n10xy?積不出的積分，無(wú)法計(jì)算。 ),( 積分次序計(jì)算后按先改變積分次序 yx??? yy dxy ydyI 2 s i n10 ? ?? 102 )(s i n dyyyyy?? ?? 1010 s i ns i n y dyyy dy.1s i n1)1s i n1( c o s1c o s1 ??????1 由以上幾例可見(jiàn)，為了使二重積分的計(jì)算較為簡(jiǎn)便，究竟選用哪一種積分次序主要由積分區(qū)域的特點(diǎn)來(lái)確定，同時(shí)還要兼顧被積函數(shù)的特點(diǎn)，看被積函數(shù)對(duì)哪一個(gè)變量較容易積分，總之要兼顧積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)。0,2: 2221 ayyaaxayD ??????。0,2: 223ayaxyaaD??????.),(),(),(2022220222222?????????????ayaaaaayaayaaayadxyxfdydxyxfdydxyxfdyI故例 8 求 ?? ?Dy d x d yex 22 ，其中 D 是以 ),1,1(),0,0( )1,0( 為頂點(diǎn)的三角形 . 解 ? ? dye y 2? 無(wú)法用初等函數(shù)表示? 積分時(shí)必須考慮次序?? ?Dy d x d yex 22 ?? ?? y y dxexdy02102dyye y? ?? ?10332 210262 dyye y? ?? ?).21(61 e??duue u? ?? 1061例 9 計(jì)算積分 ???yxydxedyI212141 ???yyxydxedy121. 解 ? dxe xy? 不能用初等函數(shù)表示? 先改變積分次序 .? ?? 121 )( dxeexx.2183 ee ??2xy?xy???? xx xydyedxI 2211 化二重積分為二次積分時(shí)選擇積分次序的重 要性，有些題目?jī)煞N積分次序在計(jì)算上難易程度差 別不大，有些題目在計(jì)算上差別很大，甚至有些題 目對(duì)一種次序能積出來(lái)，而對(duì)另一種次序卻積不出 來(lái) . 另外交換二次積分的次序：先由二次積分找 出二重積分的積分區(qū)域，畫(huà)出積分區(qū)域，再交換積 分次序，寫(xiě)出另一種次序下的二次積分 . 以上各例說(shuō)明 xyo D性質(zhì) : 設(shè)函數(shù) D 位于 x 軸上方的部分為 D1 , ),(),()1( yxfyxf ??),(),()2( yxfyxf ????d),(?? D yxf0d),( ??? ?D yxf當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng) , 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí) , 1D在 D 上 ?d),(2 1??? D yxf在閉區(qū)域上連續(xù) , 域 D 關(guān)于 x 軸 則 則 仍有類(lèi)似結(jié)果 . 在第一象限部分 , 則有 ?? ?D yxyx dd)(?? ?? 1 dd)(4 22D yxyx0?對(duì)稱(chēng) , ???? ?? DD yxyyxx dddd例 10. 計(jì)算 其中 D 由 ,4 2xy ?? 1,3 ??? xxy 所圍成 . oyx124 xy ??xy 3??2D1D1?x解 : 令 )1l n (),( 2yyxyxf ???21 DDD ??(如圖所示 ) 顯然 , ,1上在 D ),(),( yxfyxf ???,2上在 D ),(),( yxfyxf ???yxyyxI D dd)1l n (12?? ????0? yxyyxD dd)1l n (22?? ???4例 11. 求兩個(gè)底圓半徑為 R 的直角圓柱面所圍的體積 . xyzRRo解 : 設(shè)兩個(gè)直圓柱方程為 ,222 Ryx ??利用對(duì)稱(chēng)性 , 考慮第一卦限部分 , 其曲頂柱體的頂為 則所求體積為 ? ?220 dxR yxxRR d)(8 0 22? ?? 3316 R?222 Rzx ??22 xRz ??????????? 00:),( 22RxxRyDyxxxRR d8 0 22? ??例 1 2 求由下列曲面所圍成的立體體積，yxz ?? ， xyz ? ， 1?? yx ， 0?x ， 0?y . 解 曲面圍成的立體如圖 . 所
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