[理學(xué)]第二節(jié)二重積分的計(jì)算(已修改)
2024-12-20 01:13 本頁(yè)面
【正文】 如果積分區(qū)域 D 為： ),()( 21 xyx ?? ??其中函數(shù) 、 在區(qū)間 上連續(xù) . )(1 x? )(2 x? ],[ ba第二節(jié) 二重積分的計(jì)算 一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 ［ X－型區(qū)域］ )(2 xy ??a bD)(1 xy ??Dba)(2 xy ??)(1 xy ??.bxa ?? X型區(qū)域的特點(diǎn) ： 穿過(guò)區(qū)域且平行于 y軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn) . 應(yīng)用計(jì)算“平行截面面積為已知的立體求體積”的方法 , zyx)(xA),( yxfz ?)(1 xy ??)(2 xy ??得 a bx根據(jù)二重積分的幾何意義 ,當(dāng) 時(shí) , 曲頂柱體的體積．為頂?shù)臑榈?，以曲面等于?),(),( yxfzDdyxfD??? ?D yyxfxx d),()( )(21?????ba xd?? D yxyxf dd),(yyxfxA xx d),()( )( )(21?? ???? ba xxA d)(.),(),( )()(21?? ? ??Ddcyydxyxfdydyxf ???如果積分區(qū)域 D 為： ),()(21 yxy ?? ??［ Y－型區(qū)域］ )(2 yx ??)(1 yx ?? Dcdcd)(2 yx ??)(1 yx ?? D.dyc ?? Y型區(qū)域的特點(diǎn) ： 穿過(guò)區(qū)域且平行于 x軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn) . 當(dāng)被積函數(shù) ),( yxf??? 2 ),(),(),( yxfyxfyxf 2 ),(),( yxfyxf ?),(1 yxf ),(2 yxf 均非負(fù) 在 D上變號(hào)時(shí) , 因此上面討論的二次積分法仍然有效 . 由于 o xy說(shuō)明 : (1) 若積分區(qū)域既是 X–型區(qū)域又是 Y –型區(qū)域 , ?? D yxyxf dd),(為計(jì)算方便 ,可選擇積分序 , 必要時(shí)還可以交換積分序 . )(2 xy ??xoyDba)(1 yx ?? )(2 yx ??dc則有 x)(1 xy ??yyyxfxx d),()( )(21?????ba xdxyxfyy d),()( )(21?????dc yd(2) 若積分域較復(fù)雜 ,可將它分成若干 1D2D3DX型域或 Y型域 , ???????? ??? 321 DDDD則 例 1 .1,0,)2(22所圍由其中計(jì)算二重積分????? ??xyxyDdyxID?o xy12xy ??? ?? 20 210 )2(x dyyxdxI? ?? 10 022 2|)( dxyyx x?? 10 42 dxx .52??? ?? 1 210 )2(y dxyxdyI? ?? 10 13 |)231( dyxyx y? ??? 10 2/3 )37231( dyyy.52)151431(102/52 ???? yyy注意兩種積分次序的 計(jì)算效果！ 解 1. 將 D看作 X–型區(qū)域 , 則 解 2. 將 D看作 Y–型區(qū)域 , 則 例 2. 計(jì)算 ,d??D yx ?其中 D 是拋物線 所圍成的閉區(qū)域 . 解 : 為計(jì)算簡(jiǎn)便 , 先對(duì) x 后對(duì) y 積分 , ?????????212: 2yyxyD?? ??? 221 2 dd yy xyxy??? D yx ?d?????????? 2122 d212yyxyy? ? ??? 2 1 52 d])2([21 yyyyDxy ?22?? xy21?4oyx及直線 則 D例 3 解 圍成．由其中計(jì)算 2,1,.22????? xxyxyDdyxD?X型 ???? ? xxDdyyxdxdyx 1 222122?? ??21 12)( dxyxxx? ?? 21 3 )( dxxx.49?.21,1: ???? xxyxD例 4 .,s i n所圍由其中計(jì)算二重積分xyxyDdyyID??? ?? ?o xy1xy ?解 )( 積分次序計(jì)算后按先 xy??? xx dyy ydxI s i n10xy?積不出的積分，無(wú)法計(jì)算。 ),( 積分次序計(jì)算后按先改變積分次序 yx??? yy dxy ydyI 2 s i n10 ? ?? 102 )(s i n dyyyyy?? ?? 1010 s i ns i n y dyyy dy.1s i n1)1s i n1( c o s1c o s1 ??????1 由以上幾例可見(jiàn)，為了使二重積分的計(jì)算較為簡(jiǎn)便，究竟選用哪一種積分次序主要由積分區(qū)域的特點(diǎn)來(lái)確定，同時(shí)還要兼顧被積函數(shù)的特點(diǎn)，看被積函數(shù)對(duì)哪一個(gè)變量較容易積分，總之要兼顧積分區(qū)域和被積函數(shù)的特點(diǎn)。 有些二次積分為了積分方便 , 還需交換積分順序 . 例 5. 交換下列積分順序 ???? ???22802222020d),(dd),(d xxyyxfxyyxfxI解 : 積分域由兩部分組成 : ,200: 2211?
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