16776二重積分-展示頁
2024-10-11 19:02本頁面
【正文】 A ?? bxa ??由于整個曲頂柱體的體積為 ?? ba dxxAV )(由此，可得 ? ?? ba xx dxdyyxfV )( )(21 ]),([ ??或者寫成 ? ?? ba xx dyyxfdxV ]),([ )( )(21??的二次積分。 性質(zhì) 4 的面積，則為上，如果在 DyxfD ?,1),( ??? ????D Ddd ??? 1此性質(zhì)的幾何意義很明顯，因為高為 1的平頂柱體的體積在 數(shù)值上就等于柱體的底面積。假定在區(qū)域到的所有二元函數(shù)均被 D性質(zhì) 1 被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到二重積分號的外面， 即 )(),(),( 為常數(shù)kdyxfkdyxkfDD???? ? ??性質(zhì) 2 函數(shù)的和（或差）的二重積分等于各個函數(shù)的二重 積分的和（或差）? ? ?? ???? ???D DDdyxgdyxfdyxgyxf ??? ),(),(),(),(? 二重積分的性質(zhì) 性質(zhì) 3 個閉區(qū)域，則被有限條曲線分為有限如果閉區(qū)域 DDD 和。任取一小區(qū)域 的矩形，和，則它的邊長為 yx ??? ?也常記作元素因此，二重積分的面積面積為 ?? dyx ,?????作相應(yīng)的二重積分也可記,d x d yd ????Dd x d yyxf ),(也就是說，在直角坐標(biāo)系下，有 ???? ?DDdx dyyxfdyxf ),(),( ??二重積分與一元函數(shù)定積分有類似的性質(zhì)。在每個個小閉區(qū)域，也表示它表示第其中 ii i ?? ??iiiii f ????? ?),(),( 作乘積取一點 ), . . .2,1( ni ?.),(1iiniif ??? ???并作和?如果當(dāng)個小閉區(qū)域的直徑中的最大值 趨于零時， 上的二重積分，記作在閉區(qū)域則稱此極限為函數(shù) Dyxf ),(??D dyxf 即,),( ? .),(l i m),(10iiniiDfdyxf ??????? ?????叫做叫做被積函數(shù)，為積分區(qū)域，其中 ?dyxfyxfD ),(),(叫做叫做積分變量，與叫做面積元素，被積表達式， Dyxd ?積分區(qū)域。因此我們要一般地研究這種和的極限，并抽象出下 述二重積分的定義。通過求和，再令個小塊的質(zhì)量的近似值可看作第 ni地，取和的極限，便自然記作區(qū)域的直徑中的最大值 )( ?，即得出薄片的質(zhì)量 M上面兩個問題所要求的，都歸結(jié)為同一形式的和的極限。但公式（ ),( yxSM ???的直徑域只要小快所占的小閉區(qū)薄片分成許多小快后， i??在小閉在近似地看作均勻薄片。這樣表示第且以 ii??個小曲頂表示第并以個小曲頂柱體地分成 iVVVVn in ??????? , 21柱體的體積，則????niiVV1（ 2）近似 細的情況下，是連續(xù)的，在分割相當(dāng)由于 ),( yxf上任取每個看作平頂柱體，因此在可以把小曲頂柱體近似 i??就可近似看作以個小曲頂柱體的體積，第）一點（ iii , ??的平頂柱體的體積）為高而底為（ iiif ??? ?,xzyoD),( yxfz ?i??? ),( ii ??iiif ??? ?),(), . . .2,1( ni ?即 iiii yxfV ???? ),(.),(l i m10iiniifV ???? ??
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