經濟數(shù)學微積分定積分的概念-wenkub
2022-09-10 12:42:27 本頁面
【正文】 設函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上有界，則 )( xf 在區(qū)間 ],[ ba 上可積 . 且只有有限個間斷點， 則 )( xf 在三、存在定理 區(qū)間 ],[ ba 上可積 .定理 對定積分的 補充規(guī)定 : （ 1 ）當 ba ? 時， ( ) d 0ba f x x ?? ； （ 2 ）當 ba ? 時， ( ) d ( ) dbaab f x x f x x???? . 說明 在下面的性質中，假定定積分都存在，且不考慮積分上下限的大小． ,0)( ?xf ( ) dba f x x A?? 曲邊梯形的面積 ,0)( xf ( ) dba f x x A??? 曲邊梯形的面積的負值 1A2A3A4A1 2 3 4( ) dba f x x A A A A??? ? ?四、定積分的幾何意義 幾何意義： 積取負號．軸下方的面在軸上方的面積取正號；在數(shù)和．之間的各部分面積的代直線的圖形及兩條軸、函數(shù)它是介于xxbxaxxfx?? ,)(?? ??例 1 利用定義計算定積分 1 20 ?解 將 ]1,0[ n 等分，分點為 nixi ? ， ( ni ,2,1 L? )小區(qū)間 ],[ 1 ii xx ? 的長度 nx i 1?? ， ( ni ,2,1 L? )取 ii x?? ， ( ni ,2,1 L? )iinixf ???)(1? iinix?? ??21? ,12inii xx ?? ??nnini121???????? ?????niin12316)12)(1(13???? nnnn,121161 ?????? ??????? ?? nn ???? n0?1 20 dxx? iinix?? ???210l i m ???????? ??????? ?? ?? nnn 121161l i m .31?例 2 利用定義計算定積分 21 1 ?解 在 ]2,1[ 中插入分點 12 , ?nqqq L ,典型小區(qū)間為 ],[ 1 ii qq ? ， （ ni ,2,1 L? ）小區(qū)間的長度 )1(11 ????? ?? qqqqx iiii ,取 1?? ii q? ， （ ni ,2,1 L? ）iinixf ???)(1? ini ix?? ?? 11? )1(1 111 ?????? qqqinii????niq1)1( )1( ?? qn 取 2?nq 即 nq 12?),12( 1 ?? nn)12(l i m 1 ???? xxx?xxx 112lim1????? ,2ln?)12(lim1????nnn ,2ln?211dxx? ini ix?? ??? 101lim?? )12(lim1????nnn .2ln?iinixf ???)(1?例 3 設函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ]1,0[ 上連續(xù)，且取正值 .證明 nn nnfnfnf ?????????????????????L21l i m?????? ??????????????????????nn nnfnfnfe L21limlnnn nnfnfnf ?????????????????????L21lim試證 10 l n ( ) d .f x xe ??利用對數(shù)的性質得 ???????? ??? nifnnine 1ln1l i m nnifnine1lnl i m1????????? ??? 指數(shù)上可理解為： )(ln xf 在 ]1,0[ 區(qū)間上的一個積分和． 分割是將 ]1,0[ n 等分分點為 nix i ? ， （ ni ,2,1 L? ）?????? ??????????????????????nn nnfnfnfe L21lnl i m極限運算與對數(shù)運算換序得 nnifnin1lnl i m1???????????10 l n ( ) df x x? ?故 nn nnfnfnf ?????????????????????L21l i m10 l n ( ) d .f x xe ??因為 )( xf 在區(qū)間 ]1,0[ 上連續(xù)，且 0)( ?xf所以 )(ln xf 在 ]1,0[ 上有意義且可積 ,五、小結 １．定積分的實質 ：特殊和式的極限． ２．定積分的思想和方法： 分割 化整為零 求和 積零為整 取極限 精確值 —— 定積分 求近似以直（不變）代曲（變） 取極限 思考題 將和式極限： ?????? ????????? nnnnnn)1(s in2s ins in1lim L表示成定積分 . 思考題解答 原式 ?????? ???????????? nnnnnnnn s in)1(s in2s ins in1lim L?? ????nin nin 1 s i n1limnninin???????? ??? ???? 1 s i nlim101 si n d .xx??? ?ix?i?一、 填空題： 1. 函數(shù))( xf 在? ?ba ,上的定積分是積分和的極限，即( ) dbaf x x ??____ ___________ __ . 2. 定積分的值只與 ____ __ 及 _______ 有關，而與_____ ____ 的記法無關 . 3. 定積分的幾何意義是 _______ ___________ _____ . 4. 區(qū)間?
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