高等數(shù)學(xué)定積分定積分的性質(zhì)-wenkub
2022-08-31 14:57:32 本頁(yè)面
【正文】 ?割 ， 使???? ??( ( ) ( ) ) d ( ) d ( ) d .b b ba a af x g x x f x x g x x? ? ?? ? ?.也可積返回 后頁(yè) 前頁(yè) TTT ?????令 ( T T T? ??表 示 把 與 的 所 有 分 割 點(diǎn) 合并而成的新分割 ), 則 ? ?su p ( ) ( ) ( ) ( ) , Δfgiif x g x f x g x x x? ? ? ?? ?? ? ??? ? ??su p ( ) ( ) ( )g x f x f x? ? ?????( ) ( ) ( ) , Δ if x g x g x x x?? ? ?? ? ??? ? ?.gifi MM ?? ??于是 ??? ??TigiTifiTifgi xMxMx ??? ????????????TigiTifi xMxM ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) .22 ??? ??? MMMM[ , ] [ , ]f a c c b在 與 上都可積. 此時(shí)且有( ) d ( ) d ( ) db c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?0 , [ , ] [ , ] ,a c c b T T? ? ??? ? ? 與 上分割 與 使得因此 f g 在 [ a, b] 上可積 . 性質(zhì) 4 f 在 [a, b]上可積的充要條件是 : ),( bac ??證 (充分性 ) 若 f 在 [a, c] 與 [c, b] 上可積 ,則 返回 后頁(yè) 前頁(yè) .2,2 ???? ???????? ????? TiiTii xx ??, [ , ] ,T T T a b令 它是 的一個(gè)分割? ????.???? ????????? ?????? TiiTiiTii xxx ???(必要性 ) [ , ] , 0 , ,f a b T?? ? ?已知 在 上可積 則因此 , f 在 [a, b] 上可積 . Δ .iiTx??使 ?? 在 T上加入分點(diǎn) c 得到新的分割 .T?由 167。返回 后頁(yè) 前頁(yè) 167。 3習(xí)題第 1題 , 知道 返回 后頁(yè) 前頁(yè) Δ Δ .ii iiTTxx? ? ???? ????[ , ] [ , ] ,T a c c b分割 在 和 上的部分 分別構(gòu)成對(duì)?Δ Δ , Δ Δ .i i i i i i i iTTx x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ?, [ , ]c T a c T ?為 其 中 一 個(gè) 分 點(diǎn) 則 在 的 部 分 構(gòu) 成[ , ] [ , ] [ , ]a c c b T c b對(duì) 的分割, 在 的部分 構(gòu)成對(duì) 的 ??因此， f 在 [a, c] 與 [c, b]上都可積 . 若 f 在 [a, b] 上可積 ,由必要性證明 ,若分割 T 使點(diǎn) [ , ] [ , ] ,a c c b T T和 的分割, 記為 和 則 ? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) () Δ () Δ () Δ ., i i i i i iT T Tf x f x f x? ? ?分 割 且? ??? ????? ? ?0 , 0 , 0 ,T T T令 則 即得? ??? ? ?( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?性質(zhì) 5 [ , ] , ( ) d a b f x x若 在 上 非 負(fù) 、 可 積 則 ??證 ( ) d aJ f x x若 ??? 0 , 0 , ,JT ??? ? ? ? ?對(duì)ab若規(guī)定 時(shí) ?注 ( ) d ( ) d ,baf x x f x x????ab時(shí)?, , ,a b c則對(duì) 的任何大小順序 恒有( ) d 0,ba f x x ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 因此 ,0)(1??????JJxfniii ??( ) 0 , Δ ? ??這 與 矛 盾推論 , [ , ] , ( ) ( ) ,f g a b f x g x x若 在 上可積 且 ??證 ( ) ( ) ( ) 0 , [ , ] ,F x g x f x x a b? ? ? ?設(shè) 則() Δ .iiTf x J J? ? ? ?? ],[ 1 iii xx ??? ?,d)(d)(d)(0 ??? ??? bababa xxfxxgxxF( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???[ , ],ab 則返回 后頁(yè) 前頁(yè) 若 f 在 [a, b] 上可積 ,則 | f |在 [a, b] 上 也 性質(zhì) 6 ( ) d ( ) d .bbaaf x x f x x???證 [ , ] , 0,f a b ???因 為 在 上 可 積,T? 使 得. ( ) ( ) ( ) ( ) ,fiiTx f x f x f x f x? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? 由1su p { ( ) ( ) , [ , ] }fi i if x f x x x x x? ?? ?? ? ??? ? ?1su p { ( ) ( ) , [ , ] } .fi i if x f x x x x x ??? ?? ? ??? ? ? ?( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???即 可積 ,且 返回 后頁(yè) 前頁(yè) Δ Δ , [ , ]f fi i i iTx x f a b? ? ?故 即 在 上 可 積 .????( ) ( ) ( ) ,f x f x f x且由于 得到? ? ?( ) d ( ) d ( ) d ,b b ba a af x x f x x f x x? ? ?? ? ?因此證得 ( ) d ( ) d .bbaaf x x f x x???注 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) ,f x g x f x g x??由 但一般不能推得 ( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x??? ( ) ( ) [ , ]f x g x a b但若 和 在上連續(xù)，則可得到嚴(yán)格不等式 ( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???返回 后頁(yè) 前頁(yè) 例 1 ( ) ( ) [ , ] , ( ) ( ) ,f x g x a b f x g x?設(shè) 和 在 上 連 續(xù)0 0 0[ , ] , [ , ] , ( ) ( ) ,x a b x a b f x g x且存在 使 則? ? ?( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???證 00( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 ,g x f x g x f x且 不妨設(shè)? ? ? ?00( , ) [ , ] ,x x x a b??當(dāng)時(shí)? ? ? ?001( ) ( ) [ ( ) ( ) ] .2g x f x g x f x? ? ?由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性質(zhì) , 0,???0 ( , ) .
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