高等數(shù)學(xué)定積分定積分的性質(zhì)-展示頁(yè)
2024-09-01 14:57本頁(yè)面
【正文】 g x且存在 使 則? ? ?( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???證 00( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 ,g x f x g x f x且 不妨設(shè)? ? ? ?00( , ) [ , ] ,x x x a b??當(dāng)時(shí)? ? ? ?001( ) ( ) [ ( ) ( ) ] .2g x f x g x f x? ? ?由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性質(zhì) , 0,???0 ( , ) .x a b?由此推得 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ?? [ ( ) ( ) ] dba g x f x x???? ? ? ???000[ ( ) ( ) ] d [ ( ) ( ) ] dxxaxg x f x x g x f x x?? ????? 0 [ ( ) ( ) ] dbx g x f x x??????00[ ( ) ( ) ] dxx g x f x x?? 00( ) ( ) 22g x f x ???( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???00[ ( ) ( ) ] 0 ,g x f x ?? ? ?即 返回 后頁(yè) 前頁(yè) ???( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x此結(jié)論 , 由本章總練習(xí)題 10證明 . , [ , ]f g a b由 在 上可注 3 ( ) ( ) , [ , ] ,f x g x x a b??若積,可得注 2 ,fg例 1 中 條 件 與 的 連 續(xù) 性 可 減 弱 為 :[ , ] , ( ) ( ) , [ , ] ,f g a b f x g x x a b??和 在 上 可 積 且0 0 0[ , ] , ( ) ( ) ,f g x a b f x g x??存 在 和 的 連 續(xù) 點(diǎn) 使( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???則返回 后頁(yè) 前頁(yè) 二、積分中值定理 定理 ( 積分第一中值定理 ) [ , ] , [ , ] ,f a b a b? ?若 在 上 連 續(xù) 則 存 在 使( ) d ( ) ( ) .ba f x x f b a???? 證 由于 f 在 [a, b] 上連續(xù)，因此存在最大值 M 和 ( ) d ( ) dbbaam b a m x f x x? ? ???( ) , [ , ] ,m f x M x a b? ? ? 因 此最小值 m. 由于 d ( ) ,ba M x M b a? ? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 1 ( ) d .bam f x x Mba??? ?1( ) ( ) d .baf f x xba? ? ? ?1( , ) , ( ) ( ) d ,bax a b f x f x xba? ? ? ? ?注 1 ( , )ab? 還 可 以 在內(nèi)取到 ,事實(shí)上若 由連續(xù)函數(shù)的介值性定理， [ , ] ,ab??? 使則由連續(xù)函數(shù)的介值定理 , 必恒有 即返回 后頁(yè) 前頁(yè) ( ) ( ) d , ( , ) .baf x f t t x a b???或 恒 有( ) ( ) d , ( , ) ,baf x f t t x a b???1 1 1( ) d ( ) d db b ba a af x x f t t xb a b a b a??? ??? ? ???? ? ?1 ( ) d , 。 g 在 [ a, b ] 上可積 , 且 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 性質(zhì) 3 , [ , ] [ , ]f g a b f g a b若 在 上 可 積 ， 則 在 上證 , [ , ] [ , ]f g a b a b因 在 上可積，故在 上都有界,0 , [ , ] , ( ) , ( ) .M x a b f x M g x M即 ? ? ? ? ? ?0, , Δ 。返回 后頁(yè) 前頁(yè) 167。 4 定積分的性質(zhì) 一、定積分的性質(zhì) 本節(jié)將討論定積分的性質(zhì) , 包括定積分 的線性性質(zhì)、關(guān)于積分區(qū)間的可加性、積 分不等式與積分中值定理 , 這些性質(zhì)為定 積分研究和計(jì)算提供了新的工具 . 二、積分中值定理 返回返回 后頁(yè) 前頁(yè) [ , ] ( ) d ( ) d .bbaaa b k f x x k f x x在 上也可積，且 ???證 ( ) d .baJ f x x記 ? ? [ , ] ,f a b由 在 上可積 故一、定積分的性質(zhì) 10, 0, [ , ] ,i i iT x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí), 對(duì)一切1() Δ .1niiif x Jk???????從而 性質(zhì) 1 k 為常數(shù) , 則 k f 若 f 在 [ a,b ] 上可積， 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 11() Δ () Δnni i i iiik f x k J k f x J????? ? ???因此 [ , ] ,k f a b在 可 積 .d)(d)( ?? ? baba xxfkxxkf且性質(zhì) 2 , [ , ] ,f g a b若 在 上可積 [ , ]f g a b則 在 上?可積 , 且 ( ( ) ( ) ) d ( ) d ( ) d .b b ba a af x g x x f x x g x x? ? ?? ? ?證 12 ( ) d , ( ) d .bbaaJ f x x J g x x ?? ? ? ???記 于是 0 ,10, [ , ] , 1 , 2, , ,i i iT x x i n? ? ? ?? ? ? ? ? ?當(dāng) 時(shí)，.1k k ? ????返回 后頁(yè) 前頁(yè) 11() Δ ,2niiif x J ?????? 21() Δ .2niiig x J ??????從而 121[ ( ) ( ) ] Δ ()ni i iif g x J J???? ? ??1211() Δ () Δnni i i iiif x J g x J????? ? ? ???.22?? ?? ? ?因此， f 177。2fiiTTx M???存 在 分 割 使 又 存 在 分??? ? ??Δ .2giiTTx M??割 ， 使???? ??( ( ) ( ) ) d ( ) d ( ) d .b b ba a af x g x x f x x g x x? ? ?? ? ?.也可積返回 后頁(yè) 前頁(yè) TTT ?????令 ( T T T? ??表 示 把 與 的 所 有 分 割 點(diǎn) 合并而成的新分割 ), 則 ? ?su p ( ) ( ) ( ) ( ) , Δfgiif x g x f x g x x x? ? ? ?? ?? ? ??? ? ??su p ( ) ( ) ( )g x f x f x? ? ?????( ) ( ) ( ) , Δ if x g x g x x x?? ? ?? ? ??? ? ?.gifi MM ?? ??于是 ??? ??TigiTifiT
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