高等數(shù)學定積分可積性理論補敘-展示頁
2024-09-01 14:57本頁面
【正文】 d .ba f x x J??且返回 后頁 前頁 由上和與下和的幾何意義知道幾何意義 , 上述充的一系列小矩形面積之和可以達到任意小, 只要[ , ]a b T對 的分割 足夠地細.()y f x?要條件的幾何意義為: 下圖中包圍曲線O xa byΔiiT x????()y f x?返回 后頁 前頁 | | | | 0li m ( ) ( ) S T s T S s? ? ? ? ?, 0 , 0 , | | | | ,T? ? ?? ? ? ? ?因此 當 時 就有( ) ( ) .S T s T ???0 ( ) ( ) .S s S T s T ?? ? ? ? ?,. Ss? ?由 的任意性 必有 依據(jù)可積的第一充要條[ , ] ,f a b設(shè) 在 上可積 則證 (必要性 ) , ( ) ( ) ,T S T s T ?? ? ?若 使 則(充分性 ) , ( ) .fx件 證得 可積返回 后頁 前頁 ,TT在分割 使得屬于 的所有小區(qū)間中 對應(yīng)于振Δ Δ .k k kkx? ? ?幅 的 那 些 小 區(qū) 間 的 總 長 ?????? ?定理 ( 可積的第三充要條件 ) [ , ] :f a b在 上可積的充要條件是 0 , 0 ,??? ? ? 存, Δ .kkkTx ? ? ?要 條 件 存 在 分 割 使 ??于是 [ , ] ,f a b設(shè) 在 上可積 由可積的第二充證 (必要性 ) 39。 2, 其中返回 后頁 前頁 i i iMm? ??1[ ] .i if x , x是 在 上的振幅? ?1su p | ( ) ( ) | , [ , ] ,iif x f x x x x x?? ?? ? ??? ? ?,)()()(1 1? ?? ?????niniiiiii xxmMTsTS ?? ?其中 返回 后頁 前頁 上和的幾何意義 : 曲邊梯形“外接”矩形 下和的幾何意義 : 曲邊梯形“內(nèi)接”矩形 面積之和 . 面積之和 . x y O a b()y f x?x y O ()y f x?a b返回 后頁 前頁 11( ) su p ( ) Δ [ , ] , 1 , 2, , ,ni i i i iiS T f x x x i n?? ????? ? ??????11( ) i n f ( ) Δ [ , ] , 1 , 2, , .ni i i i iis T f x x x i n?? ??? ? ??11() Δ Δ ( ) ,nni i i iiif x M x S T???????11( ) ( ) Δ [ , ] , 1 , 2, ,ni i i i iiS T f x x x i n??即 是 ???? ???????01:, nT a x x x b? ? ? ? ?對固定分割 有性質(zhì) 1 ,2,1,)(],[ 1 niMfxx iiiii ????? ? ??證 返回 后頁 前頁 ? ?10, su p ( ) [ , ] ,i i iM f x x x x? ?? ? ? ?由于 因此1 [ , ] ,i i ixx? ??? 使于是???? ???niiiniii xabMxf11)()( ?? ?????? ???niiniii xabxM11?? ?.)( ??? TS( ) .iifM ba?? ?? ?.的一個上界返回 后頁 前頁 :類似可證所以證得11( ) su p ( ) Δ [ , ] , 1 , 2, , .ni i i i iiS T f x x x i n?? ????? ? ??????11( ) i n f ( ) Δ [ , ] , 1 , 2, , .ni i i i iis T f x x x i n?? ????? ? ??????返回 后頁 前頁 ( ) ( ) ( ) ( ) | | | | ,S T S T S T M m p T?? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( ) | | | | .s T s T s T M m p T?? ? ? ?1 Δ kTT設(shè) 中 新 加 入 的 那 個 分 點 落 在 的 某 小 區(qū) 間, Δ , Δ Δ .k k k內(nèi) 它 把 分 為 兩 小 區(qū) 間 記 為 與 此 時? ??,的分割 則,. pT 39。返回 后頁 前頁 *167。 6 可積性理論補敘 一、 上和與下和的性質(zhì) 本節(jié)首先證明達布定理 , 然后用達 布定理證明 函數(shù)可積的第一、第二、 第三充要條件 , 其中第二充要條件即 為第三節(jié)中介紹的可積準則 . 二、 可積的充要條件 返回返回 后頁 前頁 一、上和與下和的性質(zhì) 01:, nT a x x x b? ? ? ? ? 有相應(yīng)的 上和 與 下和 : 1s u p { ( ) | [ , ] } , 1 , 2 , , ,ii if x x x x iM n?? ? ?1() Δ ,niiiS T M x?? ?1() Δ ,niiis T m x?? ?1in f { ( ) | [ , ] } , 1 , 2 , , .ii if x x x x im n?? ? ?[ ] , [ , ]f a , b a b若 在 上有界 則對 的分割由 167。 T?所 得 到 的 分 割T 39。Δ Δ Δ ,k k k k kk k kx x x? ? ? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?返回 后頁 前頁 即得, 0,2 ( ) 2 ( )b a M m???? ??? ? ???, ΔkkT ??存 在 使 的 的 總 長???Δ ,kkT ??設(shè) 中 滿 足 的 那 些 小 區(qū) 間 為 則??
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