高等數(shù)學(xué)定積分微積分學(xué)基本定理-展示頁(yè)
2024-09-10 09:08本頁(yè)面
【正文】 b f a , x設(shè) 在 上可積, 則 在 上??積分 。x a F a C x b用 代入, 得 再用 代入, 則得? ? ?( ) d ( ) ( ) .ba f t t F b F a???定理 (積分第二中值定理 ) 設(shè) f 在 [a, b]上可積 . (i) 若函數(shù) g 在 [a, b] 上單調(diào)減 ,且 ,0)( ?xg 則存 [ , ] ,ab? ?在使 .d)()(d)()( ?? ? ?aba xxfagxxgxf所以當(dāng) f 為連續(xù)函數(shù)時(shí) , 它的任一原函數(shù) F 必為 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 返回后頁(yè)前頁(yè)(ii) 若函數(shù) g 在 [a, b] 上單調(diào)增 , 且 ,0)( ?xg 則存 [ , ] ,ab? ?在使 ( ) ( ) d ( ) ( ) d .bba f x g x x g b f x x????證 這里只證 (i), 類似可證 (ii). 證明分以下五步 : (1) 對(duì)任意分割 T： ,10 bxxxa n ????????( ) ( ) dbaI f x g x x? ?11( ) ( ) diin xxif x g x x??? ? ?111( ) [ ( ) ( ) ] diin xixif x g x g x x?????? ?.21 II ??111( ) ( ) diin xi xig x f x x???? ? ?( 2 ) | ( ) | , [ , ] ,f x L x a b 故因 ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 返回后頁(yè)前頁(yè)1111| | ( ) [ ( ) ( ) ] diin xixiI f x g x g x x?????? ?111| ( ) | | ( ) ( ) | diin xixif x g x g x x??????? ?1Δ .ngiiiLx??? ?01, : ,ng T a x x x b因 可積 故 使? ? ? ? ? ? ? ? ?1Δngiiix L????? 1| | .I ???2 1 11( ) [ ( ) ( ) ]ni i iiI g x F x F x??????0 1 0( ) [ ( ) ( ) ]g x F x F x? ? ? ? ? ?)]()()[( 11 ?? ?? nnn xFxFxg( 3 ) ( ) ( ) d ,xaF x f t t設(shè) 則? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 返回后頁(yè)前頁(yè)11, ( ) 0 , ( ) ( ) 0 .n i ig g x g x g x由對(duì) 的假設(shè) 記??? ? ?1 0 1( ) [ ( ) ( ) ]F x g x g x? ? ? ???.)()()]()()[(1111????? ???niniii xgbFxgxgxF)()()]()()[( 1121 ???? ??? nnnnn xgxFxgxgxF( , )min { ( ) } ,x a bm F x?? ( , )m a x { ( ) } ,x a bM F x??12 1 11[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ,ni i niI M g x g x M g x M g a則????? ? ? ??12 1 11[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) ,ni i niI m g x g x m g x m g a????? ? ? ??返回 后頁(yè) 前頁(yè) 返回后頁(yè)前頁(yè)(4) 綜合 (2), (3), 得到 12( ) ( ) .mg a I I M g a??? ? ? ? ?0 , ( ) ( ) .mg a I M g a?令 便得? ? ?( 5 ) ( ) 0 , ( ) ( ) d 0 ,bag a I f x g x x若 則 此時(shí)任取? ? ??[ , ] ,ab? 滿足? ( ) ( ) d ( ) ( ) d .baaf x g x x g a f x x????).()( 2 aMgIamg ??于是( ) 0 ,ga若則? .)( Mag Im ?? ( ) ( ) dxaF x f t t由 ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 返回后頁(yè)前頁(yè)( ) ( ) d ,()a IF f t t ga?? ???[ , ] ,ab?則存在 使?( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d .bbaaf x g x x g a f x x g b f x x? ???? ? ?推論 ( ) [ , ] ( ) [ , ]f x a b g x a b設(shè) 在 上可積, 在 上單調(diào),使存在 ],[ ba??的連續(xù)性,( ) ( ) d ( ) ( ) d .baaf x g x x g a f x x????即 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 返回后頁(yè)前頁(yè)證 若 g 為單調(diào)遞減函數(shù)， ( ) ( ) ( ) ,h x g x g b??令則 h 非負(fù)、單調(diào)減 , 由定理 (i)， [ , ] ,ab??? 使( ) ( ) d ( ) ( ) dbaaf x h x x h a f x x????[ ( ) ( ) ] ( ) d .ag a g b f x x??? ?因此 ( ) ( ) d ( ) ( ) dbbaaf x g x x g b f x x???[ ( ) ( ) ] ( ) d ,ag a g b f x x??? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 返回后頁(yè)前頁(yè)即得 ( ) ( ) dba f x g x x?( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) dba a ag a f x x g b f x x g b f x x??? ? ?? ? ?( ) ( ) d ( ) ( ) d .bag a f x x g b f x x? ?????返回 后頁(yè) 前頁(yè) 返回后頁(yè)前頁(yè)二、 換元積分法與分部積分法 ( ) , ( ) , ( ) , [ , ] ,a b a t b t? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?則 ????( ) d ( ( ) ) ( ) d .ba f x x f t t t?? ??( ( ) ) ( ) d ( ( ) ) ( ) ( ) d .bba af t t t F t F x f x x? ??? ? ? ?? ? ? ???證 ( ) ( ) [ , ]F x f x a b設(shè) 是 在 上 的 一 個(gè) 原 函 數(shù) , 則( ) [ , ]t? ? ?連續(xù), 在 上連續(xù)可微, 且定理 （定積分換元積分法） ( ) [ , ]f x a b若 在 上的一個(gè)原函數(shù) . 因此 ( ( ) ) ( ( ) ) ( )F t f t t? ? ? ?是返回 后頁(yè) 前頁(yè) 返回后頁(yè)前頁(yè)注 與不定積分不同之處 : 定積分換元后不一定要 例 1 20 2d
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