高等數(shù)學(xué)定積分微積分學(xué)基本定理-文庫吧
2025-07-26 09:08 本頁面
【正文】 回 后頁 前頁 返回后頁前頁( ) ( ) d ,()a IF f t t ga?? ???[ , ] ,ab?則存在 使?( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) d .bbaaf x g x x g a f x x g b f x x? ???? ? ?推論 ( ) [ , ] ( ) [ , ]f x a b g x a b設(shè) 在 上可積, 在 上單調(diào),使存在 ],[ ba??的連續(xù)性,( ) ( ) d ( ) ( ) d .baaf x g x x g a f x x????即 返回 后頁 前頁 返回后頁前頁證 若 g 為單調(diào)遞減函數(shù)， ( ) ( ) ( ) ,h x g x g b??令則 h 非負(fù)、單調(diào)減 , 由定理 (i)， [ , ] ,ab??? 使( ) ( ) d ( ) ( ) dbaaf x h x x h a f x x????[ ( ) ( ) ] ( ) d .ag a g b f x x??? ?因此 ( ) ( ) d ( ) ( ) dbbaaf x g x x g b f x x???[ ( ) ( ) ] ( ) d ,ag a g b f x x??? ?返回 后頁 前頁 返回后頁前頁即得 ( ) ( ) dba f x g x x?( ) ( ) d ( ) ( ) d ( ) ( ) dba a ag a f x x g b f x x g b f x x??? ? ?? ? ?( ) ( ) d ( ) ( ) d .bag a f x x g b f x x? ?????返回 后頁 前頁 返回后頁前頁二、 換元積分法與分部積分法 ( ) , ( ) , ( ) , [ , ] ,a b a t b t? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?則 ????( ) d ( ( ) ) ( ) d .ba f x x f t t t?? ??( ( ) ) ( ) d ( ( ) ) ( ) ( ) d .bba af t t t F t F x f x x? ??? ? ? ?? ? ? ???證 ( ) ( ) [ , ]F x f x a b設(shè) 是 在 上 的 一 個(gè) 原 函 數(shù) , 則( ) [ , ]t? ? ?連續(xù), 在 上連續(xù)可微, 且定理 （定積分換元積分法） ( ) [ , ]f x a b若 在 上的一個(gè)原函數(shù) . 因此 ( ( ) ) ( ( ) ) ( )F t f t t? ? ? ?是返回 后頁 前頁 返回后頁前頁注 與不定積分不同之處 : 定積分換元后不一定要 例 1 20 2d .1xx x求 ??解 21222 222 1 200 20d 1 d ( 1 ) 1 2 ( 1 )22( 1 )1x x x xxx?? ? ? ?????.15 ?? （不變元 ,不變限） 元積分法時(shí)，引入了新變量，此時(shí)須改變積分限 . 保留原積分變量，因此不必改變積分限 。用第二換 用原變量代回 .一般說來，用第一換元積分法時(shí)， 返回 后頁 前頁 返回后頁前頁例 2 40 2 xx求 ? ??解 2 12 1 , , d d , 22tt x x x t t x設(shè) 則 ?? ? ? ? ?2 3。 0 1 , 4 x t x t?? ? ? ? ?時(shí) 時(shí) 于是43 20121d ( 3 ) d221x x t tx? ?????3 311 ( 3 )23t t?? 1 2 7 1[ ( 9 ) ( 3 ) ]2 3 3? ? ? ?.322? （變元 ,變限） 返回 后頁 前頁 返回后頁前頁例 3 π 350 si n si n d .x x x求 ??解 π 350 sin sin dx x x??3π20 sin | c o s | dx x x? ? 33ππ222π02s in c o s d s in ( c o s ) dx x x x x x? ? ???33π π222 π0 2s in d( s in ) s in d( s in )x x x x?? π π55222π0 222sin sin55xx? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?2 2 4( ) .5 5 5? ? ? ?（必須注意偶次根式的非負(fù)性） 返回 后頁 前頁 返回后頁前頁例 4 1 20 ln( 1 ) x xx???求解 2dt a n , d .1 xxtt x?? ?設(shè) 則 ,00 ?? xt 時(shí)當(dāng)π π1 , 0 0 t a n 1 ,44t x t t? ? ? ? ? ?時(shí) 且 當(dāng) 時(shí) , 于 是π1 4200ln( 1 ) d ln( 1 t a n ) d1x x t tx? ?????π40c o s s inln dc o stt tt?? ?π40π2 c os( )4l n dc osttt?? ?π π π4 4 40 0 0πl(wèi)n 2 d ln c o s ( ) d ln c o s d .4t t t t t? ? ? ?? ? ?返回 后頁 前頁 返回后頁前頁π , d d ,4u t u t? ? ? ?設(shè) 則π0,4tu??時(shí)π4t ? 時(shí)π 04 π0 4πl(wèi)n c o s ( ) d ln c o s ( d )4 t t u u? ? ???40 ln c o s d .uu?? ?因此 , π14200ln( 1 ) d ln 2 d1x xtx? ????π ln 2.8?定理 （定積分分部積分法） 若 u(x),v(x)為 [a, b] 上的連續(xù)可微函數(shù) ,則有定 0,u 于是?返回 后頁 前頁 返回后頁前頁積分的分部積分公式： ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d .bb baaau x v x x u x v x u x v x x??????證 因?yàn)? uv 是 vuvu ??? 在 [ a, b ] 上的一個(gè)原函數(shù) , ( ( ) ( ) ) dba u x v x x?? ?( ) ( ) .bau x v x?移項(xiàng)后則得 所以 ( ) ( ) d ( ) ( ) dbbaau x v x x u x v x x?? ???( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d .bb baaau x v x x u x v x u x v x x??????返回 后頁 前頁 返回后頁前頁例 5 120 a r c s in d .xx?求解 2da r c s in , , d , d d ,1xu x v x u v xx設(shè)則? ? ? ??111222000 2da r c sin d a r c sin1x
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