【正文】 不等式各邊除以（2）有，各邊取倒數(shù)得。 例1 求下列函數(shù)的定義域：（1）； （2） 解（1）要使函數(shù)式子有意義，就必須滿足。，定義域是除了使數(shù)學式子有意義還應當確保實際有意義自變量取值全體組成的集合。一、求函數(shù)定義域的方法1．若函數(shù)是一個抽象的數(shù)學表達式子，則其定義域應是使這式子有意義的一切實數(shù)組成的集合，且在（1）分式的分母不能為零； （2）偶次根號下應大于或等于零；（3）對數(shù)式的真數(shù)應大于零且 此外，定義在區(qū)間（a,a）上的任何一個函數(shù)f(x)都可以表示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)和事實上設(shè) 由奇偶函數(shù)的定義知，f1(x)是奇函數(shù)。 設(shè)，我考慮區(qū)間[a,a]上的函數(shù)F(x)，它是偶函數(shù)，且在[0,a]上，使F(x)=f(x)，則應有稱F（x）是f(x)的偶延拓同樣可給出f(x)的奇延拓，即函數(shù)F（x）在[a,a]上的奇函數(shù)，且在（0,a）上，F(xiàn)（x）=f(x)，則應有這樣，研究f(x)只要，研究F（x）就可以了。有界函數(shù)定義的反面是定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若對每一個正常數(shù)M（無論M多么大），都存在，使，則稱f(x)為D上的無界函數(shù)。幾何意義，若f(x)為D上的有界函數(shù)，則f(x)的圖象完全落在直線y=M與y=M之間。由定義可知上、下界有無數(shù)個，我們也可寫成如下的等價定義，使用更加方便。注意分段函數(shù)不是由幾個函數(shù)組成的，而是一個函數(shù)，我們經(jīng)常構(gòu)造分段函數(shù)來舉反例，常見的分段函數(shù)有符號函數(shù)、狄里克雷函數(shù)、取整函數(shù)。 遞增和遞減函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)，嚴格遞增和嚴格遞減函數(shù)統(tǒng)稱為嚴格單調(diào)函數(shù)。所以D是無窮區(qū)間，即無窮區(qū)間是周期函數(shù)的必要條件。所以f(x)=c是周期函數(shù)，但在實數(shù)里沒有最小正常數(shù)，所以，周期函數(shù)f(x)=c沒有最小正周期。 顯然，若T是f(x)的周期，則也是f（x）的周期，若周期函數(shù)f(x)的所有正周期中存在最小正周期，則稱這個最小正周期為f(x)的基本周期，一般地，函數(shù)的周期是指的是基本周期。 （1）定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件。一般來說，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但有些分段函數(shù)可能是初等函數(shù)，例如 ，是由復合而成。由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或有限次復合運算所得到的函數(shù)統(tǒng)稱為初等函數(shù)。四 初等函數(shù)常值函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。則復合函數(shù)，若作為外函數(shù)，作為內(nèi)函數(shù)，則復合函數(shù)為y=g(f(x))。在實際判斷兩個函數(shù)能否構(gòu)成復合函數(shù)，只要看的定義域是否為非空集，若不為空集，則能構(gòu)成復合函數(shù)，否則不能復合函數(shù)。三、復合函數(shù) 定義 設(shè)，若，則y通過u構(gòu)成x的函數(shù)，稱為由y=f(u)與復合而成的函數(shù)，簡稱為復合函數(shù)，記作。 函數(shù)y=f(x)與x=f1(y)的圖象相同，這因為滿足y=f(x)點（x,y）的集合與滿足x=f1(y)點(x,y)的集合完全相同，而函數(shù)y=f(x)與y=f1(x)圖象關(guān)于直線y=x對稱。 函數(shù)與函數(shù)表達式的區(qū)別：函數(shù)表達式指的是解析式子，是表示函數(shù)的主要形式，而函數(shù)除了用表達式來表示，還可以用表格法、圖象法等形式來表示，不要把函數(shù)與函數(shù)表達式等同起來。 由確定函數(shù)的因素是定義域、對應法則及值域，而值域被定義域和對應法則完全確定，故確定函數(shù)的兩要素為定義域和對應法則。 內(nèi)容提要與釋疑解難 一、函數(shù)的概念 定義:設(shè)A、B是兩個非空實數(shù)集，如果存在一個對應法則f，使得對A中任何一個實數(shù)x，在B中都有唯一確定的實數(shù)y與x對應，則稱對應法則f是A上的函數(shù)，記為 .y稱為x對應的函數(shù)值，記為 .其中x叫做自變量，y又叫因變量，A稱為函數(shù)f的定義域，記為D（f）， , 稱為函數(shù)的值域，記為R（f），在平面坐標系Oxy下，集合 稱為函數(shù)y=f(x)的圖形。第一章 函數(shù)與極限第一節(jié) 函數(shù)167。 函數(shù)內(nèi)容網(wǎng)絡(luò)圖 區(qū)間 定義域 不等式 定義 集合 對應法則 表格法 表達方法 圖象法 初等函數(shù) 解析法 非初等函數(shù) 單調(diào)性 函數(shù)的特性 奇偶性函數(shù) 周期性 有界性 定義 反函數(shù) 重要的函數(shù) 存在性定理 復合函數(shù) 符號函數(shù)： 幾個具體重要的函數(shù) 取整函數(shù)：，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù). 狄里克雷函數(shù)： 167。函數(shù)是微積分中最重要最基本的一個概念，因為微積分是以函數(shù)為研究對象，運用無窮小及無窮大過程分析處理問題的一門數(shù)學學科。從而在判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時，只要看這兩個函數(shù)的定義域和對應法則是否相同，至于自變量、因變量用什么字母，函數(shù)用什么記號都是無關(guān)緊要的。 二、反函數(shù) 定義 設(shè)y=f(x)，若對R(f)中每一個y，都有唯一確定且滿足y=f(x)的與之對應，則按此對應法則就能得到一個定義在R（f）上的函數(shù)，稱這個函數(shù)為f的反函數(shù)，記作 .由于習慣上用x表示自變量，y表示因變量，所以常把上述函數(shù)改寫成. 由函數(shù)、反函數(shù)的定義可知，反函數(shù)的定義域是原來函數(shù)的值域，值域是原來函數(shù)的定義域。 若y=f(x)的反函數(shù)是x=f1(y)，則 定理1（反函數(shù)存在定理）嚴格增（減）的函數(shù)必有嚴格增（減）的反函數(shù)。復合函數(shù)的定義域為，其中x稱為自變量，y稱為因變量，u稱為中間變量，稱為內(nèi)函數(shù)，f(u)稱為外函數(shù)。在求復合函數(shù)時，只要指出誰是內(nèi)函數(shù)，誰是外函數(shù)，例如y=f(x), y=g(x),若y=f(x)作為外函數(shù)，y=g(x)作為內(nèi)函數(shù)。我們要學會分析復合函數(shù)的復合結(jié)構(gòu)，既要會把幾個函數(shù)復合成一個復合函數(shù)，又要會把一個復合函數(shù)分拆成幾個函數(shù)的復合。大家一定要記住基本初等函數(shù)的定義域，值域，會畫它們的圖象，并且要知道這些函數(shù)在哪些區(qū)間遞增，在哪些區(qū)間遞減，是否經(jīng)過原點？與坐標軸的交點是什么？以后我們常常要用到。不是初等函數(shù)稱為非初等函數(shù)。五 具有某些特性的函數(shù)1．奇（偶）函數(shù)定義 設(shè)D是關(guān)于原點對稱的數(shù)集，y=f(x)為定義在D上 的函數(shù)，若對每一個，都有，則稱y=f(x)為D上的奇（偶）函數(shù)。 （2）若f(x)為奇函數(shù)，則f(0)=0，事實上，由定義知f(0)=f(0)，有f(0)=f(0)，得f(0)=0. 2．周期函數(shù) 定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在某個非零常數(shù)T，使得對一切，都有f(x+T)=f(x)，則稱y=f(x)為周期函數(shù)，T稱為y=f(x)的一個周期。 必須指出的是不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期，例如f(x)=c（c為常數(shù)），因為對任意的實常數(shù)T，都有f(x+T)=f(x)=c。 如果f(x)為周期函數(shù)，且周期為T，任給，有f(x)=f(x+kT)，知。 3．單調(diào)函數(shù) 定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若對D中任意兩個數(shù)x1,x2且x1x2,總有 ，則稱y=f(x)為D上的遞增（遞減）函數(shù)，特別地，若總成立嚴格不等式 ，則稱y=f(x)為D上嚴格遞增（遞減）函數(shù)。 4．分段函數(shù)如果一個函數(shù)在其定義域內(nèi)，對應于不同的x范圍有著不同的表達形式，則稱該函數(shù)為分段函數(shù)。 5．有界函數(shù)與無界函數(shù) 定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在常數(shù)N≤M，使對每一個，都有 則稱f(x)為D上的有界函數(shù)，此時，稱N為f(x)在D上的一個下界，稱M為f(x)在D上的一個上界。定義 設(shè)y=f(x)為定義在D上的函數(shù)，若存在常數(shù)M0，使得對每一個，都有 則f(x)為D上的有界函數(shù)。注意：直線y=M，y=M不一定與曲線相切。 6．函數(shù)的延拓與分解 有時我們需要由已知函數(shù)產(chǎn)生新的函數(shù)來解決實際問題，這里我們從函數(shù)的特性出發(fā)，開拓由已知產(chǎn)生新的函數(shù)的方法。 同樣，對于函數(shù)y=f(x),，可以構(gòu)造一個以（ba）為周期的周期函數(shù)F（x），在（a,b）上，F(xiàn)（x）=f(x)，則有這就是函數(shù)f(x)的周期延招，研究f(x)只要研究F（x）就可以了。 f2(x)是偶函數(shù)，且.我們還可以證明f1(x)，f2(x)是唯一存在，如果,其中g(shù)1(x)是奇函數(shù)，g2(x)是偶函數(shù)，于是,解