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微積分學(xué)習(xí)總結(jié)-資料下載頁

2025-06-29 12:29本頁面
  

【正文】 a≥b.注意在性質(zhì)5中,即使存在N0,當(dāng)nN0時(shí),都有anbn,也不能保證ab.例如 ,anbn(n=1,2,…),但,而0=0。性質(zhì)6 數(shù)列{an}收斂的充要條件是:數(shù)列{an}的任何一個(gè)子數(shù)列都收斂且極限相等。逆否定理 若數(shù)列{an}有兩個(gè)子數(shù)列極限存在不相等或有一個(gè)子數(shù)列極限不存在,則數(shù)列{an}發(fā)散。該定理是判斷數(shù)列{an}發(fā)散的一個(gè)重要方法。性質(zhì)7 (數(shù)列極限的四則運(yùn)算)若,則數(shù)列{an177。bn},{anbn},(b≠0)的極限都存在,且(1); (2);特別地,當(dāng)k為常數(shù)時(shí),有;(3).注意:數(shù)列極限的四則運(yùn)算前提是兩個(gè)數(shù)列極限都存在,并可把數(shù)列極限推廣到有限項(xiàng)極限的四則運(yùn)算,但數(shù)列極限的運(yùn)算法則不能推廣到無限項(xiàng).例 。167。 解題方法與技巧一、求數(shù)列極限的方法要證,即證明,當(dāng)nN時(shí),nN是成立的充分條件,從而有(1)直接證法(充要條件),找出使成立的充要條件(當(dāng)然也是充分條件),即和中學(xué)解一般不等式的方法相同,由。例1 證明 (|q|1,且q為常數(shù)).證(i)當(dāng)q=0時(shí),知為常值數(shù)列,有.(ii)當(dāng)時(shí),要使(由為負(fù)數(shù)),取,當(dāng)nN時(shí),都有,所以,總之。(2)適當(dāng)放大法(充分條件)有時(shí)從中等價(jià)解出很困難。這時(shí)我們就可用適當(dāng)放大法,使得()。只要,取,當(dāng)nN時(shí),有。在使用適當(dāng)放大法時(shí),我們要求:①放大以后的g(n)要盡可能簡單,從g(n)ε中等價(jià)解出nN2(ε)容易②,即放大以后的式子必須以0為極限(a)直接放大,把化簡一步一步放大,使.(b)間接放大,有時(shí)從直接放大不容易,我們可借助于其它公式如二項(xiàng)式公式及各種不等式等輔助工具來達(dá)到放大的目的。例2 證明 。證 設(shè) 可得,可推出,即,,要使,只要,取,當(dāng)nN時(shí),都有,所以.2.利用重要數(shù)列極限和極限四則運(yùn)算求極限例3 求其中a0,a1,…,am,b0,b1,…,bk均為常數(shù)且a0≠0,b0≠0。解 原式 這個(gè)例子表明當(dāng)分子最高次冪小于分母最高次冪時(shí),分式極限為零;當(dāng)分子最高次冪等于分母最高次冪時(shí),分式極限就是分子、分母最高次冪的系數(shù)之比;當(dāng)分子最高次冪大于分母最高次冪時(shí),分式的極限為,以后該例題的結(jié)果可以作為結(jié)論用,同理可證對(duì)分子、分母的每一項(xiàng)冪指數(shù)是正數(shù)時(shí)結(jié)果仍成立,例如。例4 求 .解 原式 =3. 利用夾逼定理求極限夾逼定理 設(shè){an},{bn}為收斂數(shù)列,且,若存在N0,當(dāng)nN0時(shí),都有,則數(shù)列{}收斂,且.夾逼定理適合數(shù)列的項(xiàng)有多項(xiàng)相加或相乘式時(shí),有無窮項(xiàng)相加或相乘,且不能化簡,不能利用極限的四則運(yùn)算,此時(shí)可嘗試用夾逼定理。夾逼定理不僅能證明數(shù)列極限并可求出極限的值。例5 求極限 ,其中a1,a2,…,am均為正常數(shù)解 不妨設(shè),由于,且,由夾逼定理知..例6 求 解 由 且(1a0且為常數(shù)),根據(jù)夾逼定理知例7 求解 設(shè),由于且根據(jù)夾逼定理知例8 求解 由于,所以 ,即 ,且,由夾逼定理知例9 ,當(dāng)n≥3時(shí),求。解法一 由條件知{un}遞增,知從而 , 得 且,根據(jù)夾逼定理知解法二 由條件知un0,顯然{un}遞增,知遞減,且,由單調(diào)有界定理知收斂,設(shè),有. 若不然, 有,又 ,得=0,與相矛盾,故假設(shè)不成立,所以.例10 求.解 設(shè),由在和式中。,令知且在上連續(xù)必可積。而是在上,把區(qū)間[0,1]等分,取每個(gè)小區(qū)間左端點(diǎn)得到的和式,由定積分定義知 ,且,根據(jù)夾逼定理知。例11 求.解法一 由,且0=0,=0,根據(jù)夾逼定理知 =0。解法二 由=,其中,而,知為有界量,又,根據(jù)夾逼定理知。從而原式(有界量乘以無窮小量仍是無窮小量).4.利用單調(diào)有界定理證明數(shù)列遞增(遞減)有上界(下界),則數(shù)列收斂,即單調(diào)有界數(shù)列有極限。單調(diào)有界定理適合數(shù)列的項(xiàng)用遞推關(guān)系式給出的數(shù)列。單調(diào)有界定理僅能證明數(shù)列極限存在,至于數(shù)列極限的值是多少只能用別的方法去解決。例12 設(shè)為常數(shù),證明極限存在,并求。分析 由于,容易觀察出是遞增的,并可用數(shù)學(xué)歸納法證明。關(guān)鍵是證明它有上界,哪一個(gè)數(shù)是的上界呢?我們觀察不出來。由于是遞增的,所以,若極限存在,則極限值一定是它的一個(gè)上界,若有極限,設(shè)=,由于,令,有,兩邊平方得,解得。由題意知,所以,由于太復(fù)雜,我們對(duì)它作適當(dāng)放大,有,則必有。證 顯然,我們先證遞增的,即。由于,即時(shí)不等式成立。假設(shè)時(shí),成立。當(dāng)時(shí),由,,即時(shí)不等式也成立,由數(shù)學(xué)歸納法知,知遞增。再證有上界,用數(shù)學(xué)歸納法證明:由,假設(shè)時(shí),,當(dāng)時(shí), 。即時(shí)也成立,由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)一切,都有。根據(jù)單調(diào)有界定理知收斂。設(shè),令,有,解得,知,知,由條件知。知。在上題證明了數(shù)列有界時(shí),我們也可用下面方法證。我們已經(jīng)證明了嚴(yán)格遞增,即,故。從而有上界。注:在求由遞推關(guān)系式給出數(shù)列的極限時(shí),一定要先證明數(shù)列極限存在,再求極限,否則就犯了邏輯性錯(cuò)誤。例如 數(shù)列是發(fā)散的。如果我們不去判斷它的收斂性,直接求極限會(huì)怎么樣呢?設(shè),設(shè),令,于是。這里犯錯(cuò)誤的原因是沒有證明的極限是否存在,便假設(shè)。在錯(cuò)誤的假設(shè)下,當(dāng)然推出錯(cuò)誤的結(jié)論。因此,一定要證明收斂后,再設(shè)。例13 設(shè),()證明存在,并計(jì)算此極限。分析 由于,且,所以要判斷是否單調(diào),關(guān)鍵是判斷分式的分子中與1之間的大小,即與1之間的大小。若收斂,設(shè),對(duì),令有解得a=1,若,則。即遞減,若,則遞增。證 由于,所以有下界,而。知遞減。由單調(diào)有界定理知,收斂,設(shè),對(duì),令有。例14 設(shè)。求。解 設(shè),由不等式 ,又遞減有下界,故收斂。設(shè),由于令,由前面不等式性質(zhì)知。知。例15 設(shè).解 設(shè)由極限的不等式性質(zhì)知,存在,知遞減且。由單調(diào)有界定理知收斂,設(shè),由令,有,化簡有例16 設(shè)收斂于方程的正根。證(i) 若假設(shè)時(shí),時(shí),,兩邊開二次方根有,即時(shí),不等式成立,由數(shù)學(xué)歸納法知遞減且,根據(jù)單調(diào)有界定理知收斂。(ii)假設(shè)時(shí),成立,當(dāng)時(shí),有,即時(shí),成立。由數(shù)學(xué)歸納法知遞增。下面再證有上界,由。即有上界,故收斂。設(shè)收斂于的正根。例17 證明收斂。解 由于,知遞增,又 。知有界,由單調(diào)有界定理知收斂。注:1. 此數(shù)列雖然我們證明它收斂,但此極限值用上述的方法就求不出來。用其它方法也不好求。2. 在證明此數(shù)列有界的過程中,用到了不等式當(dāng)時(shí)。4.利用函數(shù)極限求數(shù)列極限。由數(shù)列中的通項(xiàng)是的表達(dá)式,即而是特殊與一般的關(guān)系,由歸納原則知. (1)反之不一定。從而,當(dāng)求極限時(shí),若的極限屬于未定式時(shí),對(duì)數(shù)列極限當(dāng)然不能用洛比達(dá)法則,因?yàn)樽鳛楹瘮?shù)在圖象上是離散的點(diǎn),既不連續(xù),更不可導(dǎo),但我們可用結(jié)論(1),轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限,對(duì)于求函數(shù)極限,便可以利用洛必達(dá)法則去求,當(dāng)然也利用求函數(shù)極限的其它方法。例18 求.解 原式===.例19 求.解法一 原式 .解法二 原式。注:在解法二中利用了函數(shù)的重要極限.5.利用級(jí)數(shù)的收斂,求數(shù)列極限或證明數(shù)列收斂。(此種方法對(duì)數(shù)學(xué)一、三要求,對(duì)數(shù)學(xué)二、四不要求)(1)若收斂,則。例20 求解 對(duì)于一般級(jí)數(shù),由,知絕對(duì)收斂,因此。例21 求.解 由為正項(xiàng)級(jí)數(shù),設(shè),知收斂,因此,.(2)收斂由于前n項(xiàng)和為,因此的收斂性等價(jià)于的收斂性。若收斂,則 。例22 設(shè),求,其中。分析 由題設(shè)條件可看出 具有遞歸規(guī)律,因此,可考慮用級(jí)數(shù)求和方法來解。解 由, 得。于是.6.利用等價(jià)量替換來求數(shù)列極限。由于在求函數(shù)極限時(shí),可對(duì)分式分子、分母中的復(fù)雜因式用簡單的等價(jià)量來替換。而數(shù)列也是特殊的函數(shù),故在求數(shù)列極限時(shí),也可用等價(jià)量替換。例23 已知為常數(shù),求。解 ,利用 有原式,知解得7.利用和式極限化為定積分求數(shù)列極限。例24 求.解 原式= = .注:因?yàn)?是廣義積分,是瑕點(diǎn),所以下限代入原函數(shù)是指原函數(shù)在處的極限。二、判斷數(shù)列極限不存在的方法1.若數(shù)列{an}有兩個(gè)子數(shù)列極限存在但不相等,則{an}發(fā)散例25 判斷數(shù)列的收斂性解 取。得子數(shù)列,取n=8k,得子數(shù)列,由,知數(shù)列發(fā)散。2.若數(shù)列{an}無界,則數(shù)列{an}發(fā)散例26 判斷數(shù)列的收斂性。解 設(shè),有,知,從而{an}無界,故{an}無界60
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