【正文】 【解法二】因?yàn)?，所?由于 ，故有 .于是得.由于，所以原式= 其中是曲面（）的上側(cè).【解法一】由（上側(cè)），得在點(diǎn)處的切片面法向量為 ||，.由兩類(lèi)積分間的聯(lián)系有及知 【對(duì)稱(chēng)性】【令，則】 【解法二】取為平面塊， 【切片法】. ①又（下側(cè)） 【對(duì)稱(chēng)性】. ②所以 ，求.【解法一】由（上側(cè)），得在點(diǎn)處的切片面的法向量為 .由兩類(lèi)積分的聯(lián)系，有及知 【對(duì)稱(chēng)性】【極坐標(biāo)】.【解法二】取為平面塊， 【對(duì)稱(chēng)性】. ①又（下側(cè)） . ②所以 例5．計(jì)算，其中為連續(xù)函數(shù)，是平面在第四卦限部分的上側(cè).【解】化為第一型曲面積分 （八）高斯公式定理：設(shè)空間閉區(qū)域是由分片光滑的閉曲面所圍成，函數(shù) （1）. 注意：在使用高斯公式時(shí)，需要驗(yàn)證三個(gè)條件是否滿(mǎn)足！，求流體通過(guò)上半球面的上側(cè)的流量.【解】.設(shè)（取下側(cè)）. 則由高斯公式，知： 又顯然，所以，這里是由，所圍立體表面的外側(cè).【解】由高斯公式及求球坐標(biāo)下計(jì)算三重積分的公式 ，這里是由，所圍成的閉曲面的外側(cè)，是上點(diǎn)處外法線(xiàn)的方向余弦.【解】由高斯公式，有 【對(duì)稱(chēng)性】 【切片法】.（1），為圓柱的全表面，流向外側(cè)；【解】所求流量為 【高斯公式】 （2），是正方體的全表面，流向外側(cè).【解】所求流量為 【高斯公式】 .（1）；【解】.（2）；【解】.（3）.【解】. .【解】曲面的方程為：現(xiàn)在，曲面不是封閉曲面，不能直接使用（右側(cè)）.，便得： ，所以，計(jì)算，其中為錐面與球面及球面所圍立體表面的外側(cè).【解】因此題是對(duì)抽象函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，很可能要使用高斯公式 由高斯公式：（用球坐標(biāo)） ，求.【解】取為平面塊， .又 .所以 ，其中是任意一個(gè)不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的封閉曲面的外側(cè).【解】這里 則 （1）當(dāng)不包圍原點(diǎn)時(shí)，由高斯公式，知：； （2）當(dāng)不包圍原點(diǎn)時(shí)，以原點(diǎn)為球心，以充分小的為半徑作球面（取外側(cè)），可得： ，所以， 例10．： 其中，是閉區(qū)域的整個(gè)邊界， 稱(chēng)為拉普拉斯算子.【注：此公式叫做格林第一公式.】【證明】因?yàn)榉较驅(qū)?shù) ，其中.則 （高斯公式） +將上式右端第二個(gè)積分移至左端，便得所要證明的等式.（九）斯托克斯公式：設(shè)是分段光滑的空間有向閉曲線(xiàn)， ：（i）為方便起見(jiàn)，可記（1）式右端為 （ii）注意斯托克斯公式的適用范圍是空間一維單連通區(qū)域，且函數(shù)在包含在內(nèi)的一個(gè)空間區(qū)域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù). （ii）如記向量場(chǎng)，可記 .（iv）叫做向量場(chǎng)沿的環(huán)流量.（v）利用兩類(lèi)曲面積分之間的聯(lián)系，可得斯托克斯公式的另一形式 其中 為有向曲面的單位法向量.（vi）如 是面上的一塊平面閉區(qū)域，則斯托克斯公式就成為格林公式.，其中是平面與在第一卦限的有限部分的邊界曲線(xiàn)，從軸正向看去為逆時(shí)針?lè)较?【解】?。ㄉ蟼?cè)），則 ，.按斯托克斯公式 【邊界條件代入】 （從軸正向看去為逆時(shí)針?lè)较颍┑沫h(huán)流量.（1），為圓周；【解】所求環(huán)流量即為. .（2），為圓周【解】所求環(huán)流量即為. .【其中 ；（令）】.（1）；【解】 . （2）.【解】 .：，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，為任意向量函數(shù).【證明】（一）設(shè)，則. . ① （二） . ② . ③. ④（三）由①、③、④立得 .，證明：.【證明】. .其中為平面截立方體：表面所得的截痕，若從軸正向看去，取逆時(shí)針?lè)较?【解】 .按斯托克斯公式，有 【解】由斯托克斯公式 .取為平面上由橢圓所圍成的那一小塊曲面.（取上側(cè)），因此,） .【注：此題還有另外兩種常見(jiàn)解法.【解法二】（直接計(jì)算） 其中，的求法：聯(lián)立，消去x,得：所以， 同理：而（？）所以，.【解法三】（化為參數(shù)方程來(lái)計(jì)算）所以，原式=】（一）.周期為的付里葉級(jí)數(shù)函數(shù)系稱(chēng)為三角函數(shù)系，具有以下兩條性質(zhì)（稱(chēng)為正交性） （i）在上互乘定積分為0； （ii）在上自乘定積分為（1除外）.：設(shè)以以為周期，如果滿(mǎn)足在一個(gè)周期內(nèi) （1）連續(xù)或只有有限第一類(lèi)間斷點(diǎn)； （2）至多有有限多個(gè)極值點(diǎn)（不能作無(wú)限多次振動(dòng).）則的付氏級(jí)數(shù)其中 ；，必收斂，且： （1）當(dāng)是連續(xù)點(diǎn)時(shí)，收斂于； （2）當(dāng)是間斷點(diǎn)時(shí)，收斂于； （3）當(dāng)，收斂于.（1） 【解】注意到為奇函數(shù)，因此 ； 所以，.. 【注意】此題解答與書(shū)中不同.（2）【解】 ； 而顯然有：（因?yàn)闉榕己瘮?shù)）.所以得 （3）； 【解】注意到為奇函數(shù)，因此 ； .所以，.. （4）.【解】注意到為偶函數(shù)，因此 ； ； .所以，.. .【解】（一）對(duì)作奇延拓及周期延拓.； . ①所以，.. ②（二）對(duì)作偶延拓及周期延拓.；； ③所以，.. ④.【解】（一）對(duì)作奇延拓及周期延拓. ；【分部】【分部】 . ①所以，.. ②（二）對(duì)作偶延拓及周期延拓.；；【分部】 . ③所以，.. ④，并由此推導(dǎo)下列各式.（1）；（2）；（3）.【解】（1）注意到為奇函數(shù)，因此 ； ①所以，.. ②②式中，令，有 . ③（1） 對(duì)③中，兩邊同乘以得 ④③、④相加得 . ⑤（3）在②式中，令，有 整理得 .，并寫(xiě)出它的和函數(shù).【解】對(duì)作偶延拓及周期延拓.（一）； 所以，.. （二） 由狄里赫萊收斂定理易知傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為 和函數(shù)為 ，它在上的表達(dá)式為，將展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)之和.【解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故；； 【分部】 【分部】 .所以有 ① ①中，取得 ，即 ②又設(shè)③ ⑤則顯然有 又設(shè) 則 又 （二）.周期為的付里葉級(jí)數(shù)狄里赫萊收斂定理：設(shè)以以為周期，如果滿(mǎn)足在一個(gè)周期內(nèi) （1）連續(xù)或只有有限第一類(lèi)間斷點(diǎn)； （2）至多有有限多個(gè)極值點(diǎn)（不能作無(wú)限多次振動(dòng).）則的付氏級(jí)數(shù)其中 ；，必收斂，且： （1）當(dāng)是連續(xù)點(diǎn)時(shí)，收斂于； （2）當(dāng)是間斷點(diǎn)時(shí)，收斂于； （3）當(dāng)，收斂于.【解】，因此 ； ； 【分部】 【分部】.所以，...【解】對(duì)作偶延拓及周期延拓.；；【分部】 . ③所以，.. ④，其中，求.【解】由題設(shè)，對(duì)進(jìn)行偶延拓，使之在上定義為偶函數(shù)。然后再進(jìn)行以周期為2的周期延拓。最后按付里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為，因此 ，并寫(xiě)出它的和函數(shù). 【解】對(duì)作偶延拓及周期延拓.；； 所以，.. 和函數(shù)為.105