【正文】 ，定義中的ε可用2ε、或ε2等本質(zhì)上是任意的正常數(shù)來替代，同樣也可把“”號換成“≤”號。2. N的相應(yīng)性。一般說，N是隨著ε的變小而變大，但并不是由ε唯一確定，因為給定ε，確定N，當nN，有，則N+1，N+2，…同樣也符合要求。此外，nN中的N只是下標的一個界線，要求n是自然數(shù)，故N可以是實數(shù)，而且nN也可改成n≥N。：，表明a的任何給定的ε鄰域中都含有數(shù)列{an}中除了有限項以外的全有項。二、收斂數(shù)列的性質(zhì)性質(zhì)1 （唯一性）若數(shù)列{an}極限存在，則極限值是唯一的。性質(zhì)2 改變數(shù)列的有限項，不改變數(shù)列的收斂性與極限。有了性質(zhì)2，對于判定數(shù)列斂散性的定理中要求從第一項就具有某種性質(zhì)的條件可減弱為從某一項開始具有該性質(zhì)，結(jié)論依然成立。性質(zhì)3（有界性）數(shù)列{an}收斂，則{an}為有界數(shù)列，即存在某正常數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n，都有。推論 若數(shù)列{an}無界，則數(shù)列{an}發(fā)散。該推論是判斷數(shù)列{an}發(fā)散的一個簡單有效的辦法。性質(zhì)4 設(shè)，且 ab，則存在N0，當nN0時（即n充分大時），都有anbn。推論（保號性），若，則對于滿足0ηa(aη0)的任何常數(shù)η，存在N，當nN時，都有anη0(anη0)。性質(zhì)5（不等式）若，且存在N0，當nN0時，都有an≥bn，則a≥b.注意在性質(zhì)5中，即使存在N0，當nN0時，都有anbn，也不能保證ab.例如 ，anbn（n=1，2，…），但，而0=0。性質(zhì)6 數(shù)列{an}收斂的充要條件是：數(shù)列{an}的任何一個子數(shù)列都收斂且極限相等。逆否定理 若數(shù)列{an}有兩個子數(shù)列極限存在不相等或有一個子數(shù)列極限不存在，則數(shù)列{an}發(fā)散。該定理是判斷數(shù)列{an}發(fā)散的一個重要方法。性質(zhì)7 （數(shù)列極限的四則運算）若，則數(shù)列{an177。bn}，{anbn}，（b≠0）的極限都存在，且（1）； （2）；特別地，當k為常數(shù)時，有；（3）.注意：數(shù)列極限的四則運算前提是兩個數(shù)列極限都存在，并可把數(shù)列極限推廣到有限項極限的四則運算，但數(shù)列極限的運算法則不能推廣到無限項.例 。167。 解題方法與技巧一、求數(shù)列極限的方法要證，即證明，當nN時，nN是成立的充分條件，從而有（1）直接證法（充要條件），找出使成立的充要條件（當然也是充分條件），即和中學(xué)解一般不等式的方法相同，由。例1 證明 （|q|1，且q為常數(shù)）.證（i）當q=0時，知為常值數(shù)列，有.（ii）當時，要使（由為負數(shù)），取，當nN時，都有，所以，總之。（2）適當放大法（充分條件）有時從中等價解出很困難。這時我們就可用適當放大法，使得（）。只要，取，當nN時，有。在使用適當放大法時，我們要求：①放大以后的g(n)要盡可能簡單，從g(n)ε中等價解出nN2（ε）容易②，即放大以后的式子必須以0為極限(a)直接放大，把化簡一步一步放大，使.（b）間接放大，有時從直接放大不容易，我們可借助于其它公式如二項式公式及各種不等式等輔助工具來達到放大的目的。例2 證明 。證 設(shè) 可得，可推出，即，，要使，只要，取，當nN時，都有，所以.2．利用重要數(shù)列極限和極限四則運算求極限例3 求其中a0，a1，…，am，b0，b1，…，bk均為常數(shù)且a0≠0，b0≠0。解 原式 這個例子表明當分子最高次冪小于分母最高次冪時，分式極限為零；當分子最高次冪等于分母最高次冪時，分式極限就是分子、分母最高次冪的系數(shù)之比；當分子最高次冪大于分母最高次冪時，分式的極限為，以后該例題的結(jié)果可以作為結(jié)論用，同理可證對分子、分母的每一項冪指數(shù)是正數(shù)時結(jié)果仍成立，例如。例4 求 .解 原式 =3. 利用夾逼定理求極限夾逼定理 設(shè){an}，{bn}為收斂數(shù)列，且，若存在N0，當nN0時，都有，則數(shù)列{}收斂，且.夾逼定理適合數(shù)列的項有多項相加或相乘式時，有無窮項相加或相乘，且不能化簡，不能利用極限的四則運算，此時可嘗試用夾逼定理。夾逼定理不僅能證明數(shù)列極限并可求出極限的值。例5 求極限 ，其中a1，a2，…，am均為正常數(shù)解 不妨設(shè)，由于，且，由夾逼定理知..例6 求 解 由 且（1a0且為常數(shù)），根據(jù)夾逼定理知例7 求解 設(shè)，由于且根據(jù)夾逼定理知例8 求解 由于，所以 ，即 ，且，由夾逼定理知例9 ，當n≥3時，求。解法一 由條件知{un}遞增，知從而 , 得 且，根據(jù)夾逼定理知解法二 由條件知un0，顯然{un}遞增，知遞減，且，由單調(diào)有界定理知收斂，設(shè)，有. 若不然, 有，又 ，得=0，與相矛盾，故假設(shè)不成立，所以.例10 求.解 設(shè)，由在和式中。,令知且在上連續(xù)必可積。而是在上，把區(qū)間[0，1]等分，取每個小區(qū)間左端點得到的和式，由定積分定義知 ，且，根據(jù)夾逼定理知。例11 求.解法一 由,且0=0，=0，根據(jù)夾逼定理知 =0。解法二 由=，其中，而，知為有界量，又，根據(jù)夾逼定理知。從而原式（有界量乘以無窮小量仍是無窮小量）.4．利用單調(diào)有界定理證明數(shù)列遞增（遞減）有上界（下界），則數(shù)列收斂，即單調(diào)有界數(shù)列有極限。單調(diào)有界定理適合數(shù)列的項用遞推關(guān)系式給出的數(shù)列。單調(diào)有界定理僅能證明數(shù)列極限存在，至于數(shù)列極限的值是多少只能用別的方法去解決。例12 設(shè)為常數(shù)，證明極限存在，并求。分析 由于，容易觀察出是遞增的，并可用數(shù)學(xué)歸納法證明。關(guān)鍵是證明它有上界，哪一個數(shù)是的上界呢？我們觀察不出來。由于是遞增的，所以，若極限存在，則極限值一定是它的一個上界，若有極限，設(shè)=，由于，令，有，兩邊平方得，解得。由題意知，所以，由于太復(fù)雜，我們對它作適當放大，有，則必有。證 顯然，我們先證遞增的，即。由于，即時不等式成立。假設(shè)時，成立。當時，由,，即時不等式也成立，由數(shù)學(xué)歸納法知，知遞增。再證有上界，用數(shù)學(xué)歸納法證明：由，假設(shè)時,，當時, 。即時也成立，由數(shù)學(xué)歸納法知對一切，都有。根據(jù)單調(diào)有界定理知收斂。設(shè)，令，有，解得，知，知，由條件知。知。在上題證明了數(shù)列有界時，我們也可用下面方法證。我們已經(jīng)證明了嚴格遞增，即，故。從而有上界。注：在求由遞推關(guān)系式給出數(shù)列的極限時，一定要先證明數(shù)列極限存在，再求極限，否則就犯了邏輯性錯誤。例如 數(shù)列是發(fā)散的。如果我們不去判斷它的收斂性，直接求極限會怎么樣呢？設(shè)，設(shè)，令,于是。這里犯錯誤的原因是沒有證明的極限是否存在，便假設(shè)。在錯誤的假設(shè)下，當然推出錯誤的結(jié)論。因此，一定要證明收斂后，再設(shè)。例13 設(shè)，（）證明存在，并計算此極限。分析 由于，且，所以要判斷是否單調(diào)，關(guān)鍵是判斷分式的分子中與1之間的大小，即與1之間的大小。若收斂，設(shè)，對，令有解得a=1，若，則。即遞減，若，則遞增。證 由于，所以有下界，而。知遞減。由單調(diào)有界定理知，收斂，設(shè)，對，令有。例14 設(shè)。求。解 設(shè)，由不等式 ，又遞減有下界，故收斂。設(shè)，由于令，由前面不等式性質(zhì)知。知。例15 設(shè).解 設(shè)由極限的不等式性質(zhì)知，存在,知遞減且。由單調(diào)有界定理知收斂，設(shè)，由令，有，化簡有例16 設(shè)收斂于方程的正根。證(i) 若假設(shè)時，時，,兩邊開二次方根有，即時，不等式成立，由數(shù)學(xué)歸納法知遞減且，根據(jù)單調(diào)有界定理知收斂。（ii）假設(shè)時，成立，當時，有，即時，成立。由數(shù)學(xué)歸納法知遞增。下面再證有上界，由。即有上界，故收斂。設(shè)收斂于的正根。例17 證明收斂。解 由于，知遞增，又 。知有界，由單調(diào)有界定理知收斂。注：1. 此數(shù)列雖然我們證明它收斂，但此極限值用上述的方法就求不出來。用其它方法也不好求。2. 在證明此數(shù)列有界的過程中，用到了不等式當時。4．利用函數(shù)極限求數(shù)列極限。由數(shù)列中的通項是的表達式，即而是特殊與一般的關(guān)系，由歸納原則知. （1）反之不一定。從而，當求極限時，若的極限屬于未定式時，對數(shù)列極限當然不能用洛比達法則，因為作為函數(shù)在圖象上是離散的點，既不連續(xù)，更不可導(dǎo)，但我們可用結(jié)論（1），轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限，對于求函數(shù)極限，便可以利用洛必達法則去求，當然也利用求函數(shù)極限的其它方法。例18 求.解 原式===.例19 求.解法一 原式 .解法二 原式。注：在解法二中利用了函數(shù)的重要極限.5．利用級數(shù)的收斂，求數(shù)列極限或證明數(shù)列收斂。（此種方法對數(shù)學(xué)一、三要求，對數(shù)學(xué)二、四不要求）（1）若收斂，則。例20 求解 對于一般級數(shù)，由,知絕對收斂，因此。例21 求.解 由為正項級數(shù)，設(shè)，知收斂，因此，.（2）收斂由于前n項和為,因此的收斂性等價于的收斂性。若收斂，則 。例22 設(shè)，求，其中。分析 由題設(shè)條件可看出 具有遞歸規(guī)律，因此，可考慮用級數(shù)求和方法來解。解 由, 得。于是.6．利用等價量替換來求數(shù)列極限。由于在求函數(shù)極限時，可對分式分子、分母中的復(fù)雜因式用簡單的等價量來替換。而數(shù)列也是特殊的函數(shù)，故在求數(shù)列極限時，也可用等價量替換。例23 已知為常數(shù)，求。解 ,利用 有原式，知解得7．利用和式極限化為定積分求數(shù)列極限。例24 求.解 原式= = .注：因為 是廣義積分，是瑕點，所以下限代入原函數(shù)是指原函數(shù)在處的極限。二、判斷數(shù)列極限不存在的方法1．若數(shù)列{an}有兩個子數(shù)列極限存在但不相等，則{an}發(fā)散例25 判斷數(shù)列的收斂性解 取。得子數(shù)列，取n=8k，得子數(shù)列，由，知數(shù)列發(fā)散。2．若數(shù)列{an}無界，則數(shù)列{an}發(fā)散例26 判斷數(shù)列的收斂性。解 設(shè),有，知，從而{an}無界，故{an}無界65